【分治法】线性时间选择问题

问题描述

给定线性序列中n个元素和一个整数k，1≤k≤n，要求在线性时间中找出这n个元素中第k小的元素

常规思路

常规思路是对序列先排序，落在第k个位置的元素就是第k小的元素。

这种方法的时间复杂度不是线性的，是O(nlogn)的时间复杂度，使用快排极端情况下甚至会出现O(n^2)的时间复杂度。问题需要在O(n)的时间内完成，故而这种方法不可行

快速排序的时间复杂度可以看这篇文章的最后

分治法解决

使用分治法解决这个问题，思路就是先将数组一分为二，利用Partition函数，将数组分成左小右大的两部分，然后判断Partition函数返回的中枢i与k的关系

• i<k，第k小在右数组，递归调用自身，在i+1到r的区间中找第k-j小
• i>k，第k小在左数组，递归调用自身，在p到i的区间中找第k小
• i==k，当前值就是第k小

递归边界是p=r时，数组只有一个元素，第一小第k小都是该元素

代码

Type RandomizedSelect(Type a[], int p, int r, int k) {
	if (p == r)
		return a[p];
	i = RandomizedPartition(a, p, r);
	j = i - p + 1;
	if (k == j)
		return a[i];
	else if (k < j)
		return RandomizedSelect(a, p, i, k);
	else
		return RandomizedSelect(a, i + 1, r, k - j);
}

Type RandomizedPartition(Type a[], int p, int r) {
	i = Random(p, r);//用于生成p到r的随机数
	swap(a[i], a[p]);//交换a[i]和a[p]
	return Partition(a, p, r);
}

关于Partition算法，可以看这篇文章中的介绍

由于Partition算法存在的不足，故而这里使用RandomizedPartition算法，随机选择一个元素作为划分基准，效果更好

算法分析

极端情况下，算法的最坏时间复杂度仍是$O(n^2)$，尽管使用RandomizedPartition算法，仍不难保证极端情况的绝对不发生

但可以证明，算法的平均时间复杂度是$O(n)$的