8.【线性代数】——求解Ax=b
八 求解Ax=b
- 1. 解Ax=b
- 2. Ax=b什么时候有解
- 3. A m ∗ n A_{m * n} Am∗n不同秩的Ax=b解分析
- 3.1 列满秩 r=n<m
- 3.2 行满秩 r=m<n
- 3.3 r=m=n
- 3.4 r<m 且 r < n
- 3.5 综述
1. 解Ax=b
求解
{
x
1
+
2
x
2
+
2
x
3
+
2
x
4
=
b
1
2
x
1
+
4
x
2
+
6
x
3
+
8
x
4
=
b
2
3
x
1
+
6
x
2
+
8
x
3
+
10
x
4
=
b
3
\begin{cases} x_1 +2x_2 + 2x_3+2x_4 = b_1 \\ 2x_1 +4x_2 + 6x_3+8x_4 = b_2\\ 3x_1 +6x_2 + 8x_3+10x_4 = b_3\\ \end{cases}
⎩
⎨
⎧x1+2x2+2x3+2x4=b12x1+4x2+6x3+8x4=b23x1+6x2+8x3+10x4=b3
消元
[
1
2
2
2
b
1
2
4
6
8
b
2
3
6
8
10
b
3
]
⏟
A
⇒
r
o
w
3
−
3
r
o
w
1
r
o
w
2
−
2
r
o
w
1
[
1
2
2
2
b
1
0
0
2
4
b
2
−
2
b
1
0
0
2
4
b
3
−
3
b
1
]
⇒
行阶梯形式
r
o
w
3
−
r
o
w
2
[
1
2
2
2
b
1
0
0
2
4
b
2
−
2
b
1
0
0
0
0
b
3
−
3
b
1
−
b
2
+
2
b
1
]
⏟
[主列|自由列|主列|自由列|b]
⇒
设
b
1
=
1
,
b
2
=
5
,
b
3
=
6
[
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
0
]
\begin{aligned} \underbrace{\begin{bmatrix} \boxed{1}&2&2&2&b_1\\ 2&4 &6&8&b_2\\ 3&6&8&10&b_3 \end{bmatrix}}_{A} &\xRightarrow[row_3-3row_1]{row_2-2row_1} \begin{bmatrix} \boxed{1}&2&2&2&b_1\\ 0&0&\boxed{2} &4&b_2-2b_1\\ 0&0&2&4&b_3-3b_1 \end{bmatrix} & \newline & \xRightarrow[行阶梯形式]{row_3-row_2} \underbrace{\begin{bmatrix} \boxed{1}&2&2&2&b_1\\ 0&0&\boxed{2} &4&b_2-2b_1\\ 0&0&0&0&b_3-3b_1-b_2+2b_1 \end{bmatrix}}_{\text{[主列|自由列|主列|自由列|b]}} & \newline &\xRightarrow{设b_1=1,b_2=5,b3=6} \begin{bmatrix} \boxed{1}&2&2&2&1\\ 0&0&\boxed{2} &4&3\\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix} \end{aligned}
A
1232462682810b1b2b3
row2−2row1row3−3row1
100200222244b1b2−2b1b3−3b1
row3−row2行阶梯形式[主列|自由列|主列|自由列|b]
100200220240b1b2−2b1b3−3b1−b2+2b1
设b1=1,b2=5,b3=6
100200220240130
A x = b ⇒ { A x p = b A x n = 0 ⇒ A ( x p + x n ) = b Ax=b \xRightarrow{} \begin{cases} Ax_p = b \\ Ax_n = 0 \end{cases} \xRightarrow{} A(x_p+x_n) = b Ax=b{Axp=bAxn=0A(xp+xn)=b ，其中 称 x p x_p xp为特解， x n x_n xn解的零空间
求特解 x p x_p xp
令所有自由变量=0，求Ax=b中的主变量
{
x
1
+
2
x
3
=
1
2
x
3
=
3
⇒
{
x
1
=
−
2
x
3
=
3
2
\begin{cases} x_1 +2x_3 = 1 \\ 2x_3 = 3 \end{cases} \xRightarrow{} \begin{cases} x_1 =-2 \\ x_3 = \frac{3}{2} \end{cases}
{x1+2x3=12x3=3{x1=−2x3=23
即特解
x
p
=
[
−
2
0
3
2
0
]
x_p=\begin{bmatrix}-2\\0\\ \frac{3}{2}\\0\end{bmatrix}
xp=
−20230
求特解 x n x_n xn
求
A
x
n
=
0
Ax_n=0
Axn=0，详见7.【线性代数】——求解Ax=0，主列和自由列
x
n
=
c
[
−
2
1
0
0
]
+
d
[
2
0
−
2
1
]
x_n = c\begin{bmatrix} -2\\1\\0\\0 \end{bmatrix} + d\begin{bmatrix} 2\\ 0\\ -2\\ 1 \end{bmatrix}
xn=c
−2100
+d
20−21
所有解
x n = [ − 2 0 3 2 0 ] + c [ − 2 1 0 0 ] + d [ 2 0 − 2 1 ] x_n = \begin{bmatrix}-2\\0\\ \frac{3}{2}\\0\end{bmatrix} + c\begin{bmatrix} -2\\1\\0\\0 \end{bmatrix} + d\begin{bmatrix} 2\\ 0\\ -2\\ 1 \end{bmatrix} xn= −20230 +c −2100 +d 20−21
2. Ax=b什么时候有解
当且仅当 b在C(A)中
3. A m ∗ n A_{m * n} Am∗n不同秩的Ax=b解分析
R矩阵表示A矩阵经过消元和简化行阶梯形式的矩阵。
3.1 列满秩 r=n<m
推出 R = [ I 0 ] R =\begin{bmatrix} I\\0 \end{bmatrix} R=[I0],没有自由变量，也就没有零空间的解，那么 x = x p x=x_p x=xp，如果解存在，解唯一。所以有0/1个解。
3.2 行满秩 r=m<n
推出 R = [ I F ] R =\begin{bmatrix} I\\F \end{bmatrix} R=[IF],有自由变量n-m，有零空间的解，所以有无数个解。
3.3 r=m=n
推出
R
=
I
R =I
R=I,没有自由变量，也就没有零空间的解，那么
x
=
x
p
x=x_p
x=xp。
解肯定存在，因为
R
=
I
R=I
R=I，所以有1个解
3.4 r<m 且 r < n
推出 R = [ I F 0 0 ] R =\begin{bmatrix} I &F\\0&0 \end{bmatrix} R=[I0F0],有自由变量，有零空间的解，如果有特解，那么有无穷解，否则无解。所以有无穷解或者无解。
3.5 综述
| 矩阵的秩 r r r | r=n<m | r=m<n | r=m=n | r<m,r<n |
|---|---|---|---|---|
| 矩阵R | [ I 0 ] \begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix} [I0] | [ I F ] \begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix} [IF] | I I I | [ I F 0 0 ] \begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix} [I0F0] |
| Ax=b解的个数 | 0/1 | 无穷 | 1 | 无解或者无穷 |