当前位置：首页 > news >正文

【学习笔记】大数定理，频率与概率，均值与期望的区别

news 2025/7/8 16:40:45

大数定理
大数定理（Law of Large Numbers） 是概率论中的一个基本定理，它描述了在大量重复的随机试验中，事件发生的频率会趋近于其理论概率，而样本的平均值也会趋近于总体（或理论）的期望值。

简单来说，就是当你的试验次数足够多时，偶然性因素的影响会逐渐减弱，而事物的内在规律性会越来越清晰地显现出来。

频率与概率、平均值与期望值的区别与联系

特征	频率 (Frequency)	概率 (Probability)	平均值 (Sample Mean)	期望值 (Expected Value)
范畴	实际观测 / 经验值	理论概念 / 理论值	实际观测 / 样本统计量	理论概念 / 总体参数
定义	在有限次试验中，事件发生的次数占总试验次数的比例。	描述事件在无限次试验中发生的可能性大小的理论值。	一组实际观测数据的总和除以数据的个数。	随机变量所有可能取值与其对应概率的乘积之和。
性质	可观测、可计算、会波动（随试验次数变化）	不可直接观测、固定不变（内在客观规律）	可计算、会变化（不同的样本有不同的平均值）	不可直接观测、固定不变（随机变量的理论平均）
例子	抛硬币10次，正面出现6次，频率为 $0.6$ 。	均匀硬币正面朝上的概率是 $0.5$ 。	5位学生身高平均为 $168.4$ cm。	均匀骰子点数的期望值是 $3.5$ 。
联系	大数定理：当试验次数足够大时，频率会趋近于概率。	大数定理：频率的长期趋势。	大数定理：当样本数量足够大时，平均值会趋近于期望值。	大数定理：平均值的理论极限。
用途	用于估计概率，进行统计分析。	用于预测事件发生的可能性，构建理论模型。	用于估计总体期望值，描述样本的集中趋势。	描述随机变量的理论平均水平，进行理论推断。

下面为一些详细的介绍
大数定理（Law of Large Numbers） 是概率论中的一个基本定理，它描述了在大量重复的随机试验中，事件发生的频率会趋近于其理论概率，而样本的平均值也会趋近于总体（或理论）的期望值。

简单来说，就是当你的试验次数足够多时，偶然性因素的影响会逐渐减弱，而事物的内在规律性会越来越清晰地显现出来。

频率的稳定性： 对于某个随机事件，单次试验的结果是偶然的，但当独立重复试验的次数非常大时，这个事件发生的频率会越来越接近于它在每次试验中发生的理论概率。例如，抛掷一枚均匀硬币，单次结果是正面或反面是随机的，但抛掷足够多次后，正面向上的次数会大约占总次数的一半。
算术平均值的稳定性： 对于一系列独立同分布的随机变量，当这些随机变量的数量足够大时，它们的算术平均值（样本均值）会越来越接近于这些随机变量的数学期望（总体均值）。

大数定理是数理统计学的理论基础之一，它揭示了随机现象的统计规律性，使得我们可以通过对大量数据的观察和分析来推断总体情况。

统计推断： 它是用样本数据估计总体参数的理论依据。例如，通过抽样调查来估计某个群体的平均收入或某种产品的合格率。
保险行业： 保险公司正是基于大数定理来运作的。虽然单个投保人是否发生事故是随机的，但当投保人数足够多时，发生事故的概率和由此产生的赔付金额可以通过大数定理进行预测，从而合理地确定保费。
蒙特卡洛方法： 这种通过随机抽样和模拟来解决复杂问题的方法，其有效性就建立在大数定理之上。例如，可以用随机投点的方法来估算不规则图形的面积。
金融投资： 在投资中，虽然短期市场波动难以预测，但长期来看，大数定理有助于理解资产组合的风险和回报特征。

总而言之，大数定理告诉我们，偶然之中蕴含着必然。虽然单个随机事件具有不确定性，但当我们将目光放到足够大量的重复试验或观测上时，统计规律性就会显现出来，使得我们能够对随机现象进行预测和分析。

概率论和统计学中，频率与概率、平均值与期望值是两组既有联系又有区别的重要概念。理解它们之间的关系，对于我们更好地理解随机现象和数据分析至关重要。

频率是概率的近似值，而概率是频率的长期趋势。 大数定理告诉我们，当重复试验的次数足够大时，事件发生的频率会越来越接近其理论上的概率。可以把频率看作是对概率的实际测量或估计。

频率 (Frequency):
- 定义： 指在有限次重复试验中，某个事件发生的次数占总试验次数的比例。
- 性质： 是一个经验值，是可观测的，会随着试验次数的不同而有所波动。
- 例子： 抛掷一枚硬币10次，正面出现6次，那么正面的频率是 $6/10 = 0.6$ 。再抛100次，可能正面出现48次，频率就是 $48/100 = 0.48$ 。
概率 (Probability):
- 定义： 描述某个事件在无限次重复试验中发生的可能性大小的理论值。
- 性质： 是一个理论值，是不可直接观测的，是固定不变的常数（对于同一个事件）。它反映了事件发生的内在客观规律。
- 例子： 对于一枚均匀的硬币，正面朝上的概率理论上就是 $0.5$ ，这是一个固定值，与你抛掷多少次无关。

平均值是期望值的样本估计，而期望值是平均值的理论极限。 类似于频率与概率，当样本数量（随机变量的数量）足够大时，样本的平均值会趋近于其对应的期望值。期望值可以被认为是随机变量的“加权平均值”，或者说是它在长期重复试验中的平均结果。

平均值 (Mean / Sample Mean):
- 定义： 指一组实际观测数据的总和除以数据的个数。
- 性质： 是一个样本统计量，是可计算的，是可变的，不同的样本会得到不同的平均值。
- 例子： 5个学生的身高分别为160cm, 165cm, 170cm, 172cm, 175cm。他们的平均身高是 $(160 + 165 + 170 + 172 + 175) /5 = 168.4$ cm。
期望值 (Expected Value / Population Mean):
- 定义： 指一个随机变量所有可能取值与其对应概率的乘积之和。它代表了随机变量在大量重复试验下，其取值的长期平均结果。
- 性质： 是一个理论值，是不可直接观测的（除非你对整个总体都进行了观测），是固定不变的常数（对于一个确定的随机变量）。
- 例子： 抛掷一枚均匀的六面骰子，每个点数（1, 2, 3, 4, 5, 6）出现的概率都是 $1/6$ 。骰子点数的期望值是 $\times (1/6) + 2 \times (1/6) + 3 \times (1/6) + 4 \times (1/6) + 5 \times (1/6) + 6 \times (1/6) = 3.5$ 。请注意，你永远不可能掷出3.5这个点数，但它是理论上的平均值。