【LeetCode 热题 100】238. 除自身以外数组的乘积——（解法一）前缀积与后缀积

Problem: 238. 除自身以外数组的乘积
题目：给你一个整数数组 nums，返回 数组 answer ，其中 answer[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外其余各元素的乘积 。
题目数据 保证 数组 nums之中任意元素的全部前缀元素和后缀的乘积都在 32 位 整数范围内。
请不要使用除法，且在 O(n) 时间复杂度内完成此题。

整体思路

这段代码旨在解决一个经典的数组问题：除自身以外数组的乘积 (Product of Array Except Self)。问题要求计算一个 ans 数组，其中 ans[i] 等于输入数组 nums 中除 nums[i] 之外所有元素的乘积。一个重要的约束是，不能使用除法运算。

该算法采用了一种非常巧妙的 前缀积与后缀积 相结合的策略。它将复杂的计算分解为两个更简单的、可预处理的步骤。

1. 核心思想：分解问题

   • 对于任意索引 i，ans[i] 的值可以看作是两部分的乘积：
     • 前缀积 (Prefix Product)：nums[i] 左侧所有元素的乘积，即 nums[0] * nums[1] * ... * nums[i-1]。
     • 后缀积 (Suffix Product)：nums[i] 右侧所有元素的乘积，即 nums[i+1] * nums[i+2] * ... * nums[n-1]。
   • 将这两部分相乘，ans[i] = (前缀积) * (后缀积)，就得到了除 nums[i] 以外所有元素的乘积。

2. 预处理：计算前缀积和后缀积数组

   • 算法创建了两个辅助数组 preMulti 和 sufMulti 来存储所有可能的前缀积和后缀积。
   • 计算前缀积：通过一次从左到右的遍历，计算 preMulti 数组。preMulti[i] 被设计用来存储 nums[0...i-1] 的乘积。状态转移关系是 preMulti[i+1] = preMulti[i] * nums[i]，其基础是 preMulti[0] = 1（空前缀的乘积为1）。
   • 计算后缀积：通过一次从右到左的遍历，计算 sufMulti 数组。sufMulti[i] 被设计用来存储 nums[i+1...n-1] 的乘积。状态转移关系是 sufMulti[j-1] = sufMulti[j] * nums[j]，其基础是 sufMulti[n] = 1（空后缀的乘积为1）。

3. 合成最终结果

   • 在两个辅助数组都填充好之后，最后通过一次遍历来构建 ans 数组。
   • 对于每个索引 i，直接从预处理好的数组中取出相应的前缀积和后缀积相乘，即 ans[i] = preMulti[i] * sufMulti[i]。

通过这种“空间换时间”的策略，算法避免了在计算每个 ans[i] 时都进行重复的乘法运算，从而实现了线性时间的解决方案。

完整代码

class Solution {/*** 计算一个数组，其中 ans[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外所有元素的乘积。* @param nums 输入的整数数组* @return 结果数组*/public int[] productExceptSelf(int[] nums) {int n = nums.length;// ans: 最终的结果数组int[] ans = new int[n];// preMulti: 存储前缀积。preMulti[i] 表示 nums[0]...nums[i-1] 的乘积。int[] preMulti = new int[n + 1];// sufMulti: 存储后缀积。sufMulti[i] 表示 nums[i+1]...nums[n-1] 的乘积。int[] sufMulti = new int[n + 1];// 初始化两个辅助数组的所有元素为 1。// 1 是乘法单位元，作为计算的起点（空前缀/后缀的积为1）。Arrays.fill(preMulti, 1);Arrays.fill(sufMulti, 1);// 步骤 1: 从左到右计算前缀积for (int i = 0; i < n; i++) {// preMulti[i+1] 是 preMulti[i] (nums[0...i-1]的积) 乘以当前元素 nums[i]preMulti[i + 1] = preMulti[i] * nums[i];}// 步骤 2: 从右到左计算后缀积// 注意循环从 n-1 开始，并且更新的是 j-1 的位置for (int j = n - 1; j > 0; j--) {// sufMulti[j-1] 是 sufMulti[j] (nums[j+1...n-1]的积) 乘以当前元素 nums[j]sufMulti[j - 1] = sufMulti[j] * nums[j];}// 步骤 3: 合成最终结果// 对于每个索引 i，其结果是其左侧所有元素的乘积与右侧所有元素的乘积的组合for (int i = 0; i < n; i++) {// ans[i] = (nums[0...i-1]的积) * (nums[i+1...n-1]的积)// 这恰好等于 preMulti[i] * sufMulti[i]ans[i] = preMulti[i] * sufMulti[i];}return ans;}
}

时空复杂度

时间复杂度：O(N)

1. 初始化：Arrays.fill 对两个长度为 N+1 的数组进行填充，时间复杂度为 O(N) + O(N) = O(N)。
2. 前缀积计算：第一个 for 循环遍历 nums 数组一次，执行 N 次操作。时间复杂度为 O(N)。
3. 后缀积计算：第二个 for 循环从 n-1 到 1，执行 N-1 次操作。时间复杂度为 O(N)。
4. 结果合成：第三个 for 循环遍历 n 次以填充 ans 数组。时间复杂度为 O(N)。

综合分析：
算法的总时间复杂度由几个独立的线性扫描组成：O(N) + O(N) + O(N) + O(N)。因此，最终的时间复杂度是 O(N)。

空间复杂度：O(N)

1. 主要存储开销：算法创建了三个与输入规模相关的数组：ans, preMulti, 和 sufMulti。
   • int[] ans = new int[n]: 占用了 O(N) 的空间。在一些语境下，输出结果不计入额外空间，但这里我们分析总占用。
   • int[] preMulti = new int[n + 1]: 占用了 O(N) 的额外辅助空间。
   • int[] sufMulti = new int[n + 1]: 占用了 O(N) 的额外辅助空间。

综合分析：
算法所需的额外辅助空间主要由 preMulti 和 sufMulti 两个数组决定。因此，其空间复杂度为 O(N) + O(N) = O(N)。

【LeetCode 热题 100】238. 除自身以外数组的乘积——（解法二）前缀积与后缀积+优化空间复杂度