【数据结构】时间复杂度与空间复杂度
算法效率
1.解释：用来衡量一个算法的好坏
2.斐波那契数列：有几个实现代码，其中一个递归看着很简单，但是这就一定是一个有效率的代码。这应该不是的。
3.对于算法效率，我们引出一个名词：算法的复杂度，我们运行程序是花费时间与空间（内存）的
，因此我们衡量一个算法的好坏，就看它用的时间复杂度与空间复杂度。
4.时间复杂度主要是衡量这个算法的运行的快慢。
5.时间复杂度主要是衡量这个算法运行的所需额外空间。
时间复杂度（函数）
1.算法的时间复杂度的计算，我们最直接的方法就是上机测试这个算法，但我们想要计算它便要看他其中的语句的运行次数（与算法花费时间成正比）。
2. 大O的渐进表示法：从渐进中，我们就可以看出他一个大概的计算的方法。比如我们高中所学的放缩里就有这个概念：就是将不影响结果的因数给舍去掉。在大O的渐进表示法里，O(2n)（指数阶）> O(n3)（立方阶）> O(n2)（平方阶）> O(nlogn)（nlogn 阶）> O(n)（线性阶）> O(logn)（对数阶）> O(1)（常数阶）。
3.最好，最坏，平均（情况），我们该选谁：最坏。
空间复杂度
1.是指算法在运行中临时占用存储空间的大小的量度。也是用大O渐进表示法。对于空间复杂度不是计算程序占了多少bytes，而是计算变量的个数。
2.注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定，也就是说空间复杂度主要看程序运行中临时 “额外要” 的空间.
案例
时间复杂度：
1.
// 计算Func2的时间复杂度?
void Func2(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}for循环里O（N） ，while循环里O（1）取”大“的
所以时间复杂度：O（N）
2.
// 计算Func3的时间复杂度?
void Func3(int N, int M)
{int count = 0;for (int k = 0; k < M; ++ k){++count;}for (int k = 0; k < N; ++ k){++count;}printf("%d\n", count);
}第一个for循环里是O（M） 第二个for O（N） 两个都是同一级别的
所以时间复杂度是O（N+M）
3.
// 计算Func4的时间复杂度?
void Func4(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 100; ++ k){++count;}printf("%d\n", count);
}for循环里O（1）
所以时间复杂度是O（1）
4.
// 计算BubbleSort的时间复杂度?
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}最坏：逆序 时间复杂度是O（N**2）
最好：有序 ，时间复杂度是O（N）
所以时间复杂度我们取最坏的
5.
// 计算BinarySearch的时间复杂度?
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{assert(a);int begin = 0;int end = n-1;while (begin < end){int mid = begin + ((end-begin)>>1);if (a[mid] < x)begin = mid+1;else if (a[mid] > x)end = mid;elsereturn mid;}return -1;
}- 每次循环，查找范围从
[begin, end]缩小为[begin, mid]或[mid + 1, end]，数据规模约折半。 - 最多经过 log2n 次（以 2 为底 n 的对数）缩小操作，就能确定结果，故时间复杂度是 O(logn) 。
6.
// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度?
long long Fac(size_t N)
{if(0 == N)return 1;return Fac(N-1)*N;
}时间复杂度：O(N) 。递归调用 Fac(N - 1) ，从 N 依次递归到 0 ，共进行 N 次递归调用，每次调用执行常数时间操作，所以时间复杂度是线性的，为 O(N) 。
7.
// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度?
long long Fib(size_t N)
{if(N < 3)return 1;return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}时间复杂度：O(2^N) 。递归计算 Fib(N) 时，会产生大量重复递归调用（比如计算 Fib(N) 要调用 Fib(N - 1) 和 Fib(N - 2) ，这两个又会各自调用更小的分支 ），递归树的节点数约为 2^N 量级，所以时间复杂度是指数级的 O(2^N) 。
空间复杂度：
1.
// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i - 1] > a[i]){Swap(&a[i - 1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}输入的数组 a 是待排序数据，属于输入本身占用的空间，不计入额外空间。
额外定义的变量有 end、exchange、i 等，这些变量占用的空间是固定的，不随输入数据规模 n 的变化而变化 。
所以，冒泡排序（Bubble Sort）的空间复杂度是 (O(1)) ，属于常数阶空间复杂度，即算法运行所需额外空间与数据规模无关，是固定大小的。
2.
// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{if (n == 0)return NULL;long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));fibArray[0] = 0;fibArray[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; ++i){fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];}return fibArray;
}动态分配了一个大小为 (n + 1) * sizeof(long long) 的数组 fibArray ，这部分空间随 n 线性增长。
其他变量（如 i 等）占用固定大小空间，不随 n 变化。
所以，该函数的空间复杂度为 O(n) ，因为动态分配的数组空间与输入规模 n 成线性关系。
3.
// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{if (N == 0)return 1;return Fac(N - 1) * N;
}递归调用会在调用栈中开辟栈帧，每次递归调用 Fac(N - 1) 都会新增一个栈帧，直到 N == 0 时开始返回。递归深度最大为 N （从 N 递归到 0 ），所以栈空间的使用量与 N 成线性关系，空间复杂度为 O(N) 。