每日一题——编辑距离

参考资料

建议先参考下面一个视频和文档，然后再思考问题，不然很容易会被吓到。
——

https://programmercarl.com/0072.%E7%BC%96%E8%BE%91%E8%B7%9D%E7%A6%BB.html#%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%85%AC%E5%BC%80%E8%AF%BE

题目描述

给定两个字符串 str1 和 str2，计算将 str1 转换为 str2 所需的最小操作次数。每次操作可以执行以下三种操作之一：

• 插入一个字符
• 删除一个字符
• 修改一个字符

示例

• 示例1:
  • 输入："nowcoder", "new"
  • 输出：6
  • 解释：修改 ‘o’ 为 ‘e’，删除后续5个字符
• 示例2:
  • 输入："intention", "execution"
  • 输出：5
  • 解释：需要修改前5个字符

解题思路

动态规划（DP）方法

1. 状态定义

   • dp[i][j] 表示将 str1 的前 i 个字符转换为 str2 的前 j 个字符所需的最小操作次数

2. 状态转移方程

   • 当 str1[i-1] == str2[j-1] 时：dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
   • 否则，取三种操作的最小值加1：
     • 修改操作：dp[i-1][j-1] + 1
     • 插入操作：dp[i][j-1] + 1
     • 删除操作：dp[i-1][j] + 1

3. 初始化

   • dp[i][0] = i：表示删除操作
   • dp[0][j] = j：表示插入操作

代码实现

#include <string.h>  // 引入字符串处理函数库，用于调用strlen等函数

// 辅助函数：计算三个整数中的最小值
int min(int a, int b, int c) {
    // 使用三元运算符实现最小值计算
    // 首先比较a和b，取较小值，再与c比较，最终返回最小值
    return a < b ? (a < c ? a : c) : (b < c ? b : c);
}

// 主函数：计算两个字符串之间的编辑距离
int editDistance(char* str1, char* str2) {
    // 获取两个字符串的长度
    int len1 = strlen(str1);  // str1的长度
    int len2 = strlen(str2);  // str2的长度

    // 处理空字符串情况
    // 如果str1为空，将str2的所有字符插入到str1中，需要len2次操作
    if (len1 == 0) return len2;
    // 如果str2为空，将str1的所有字符删除，需要len1次操作
    if (len2 == 0) return len1;

    // 创建动态规划表dp，大小为(len1+1)×(len2+1)
    // dp[i][j]表示str1的前i个字符转换为str2的前j个字符所需的最小操作数
    int dp[len1 + 1][len2 + 1];

    // 初始化动态规划表的第一行和第一列
    // dp[i][0]：将str1的前i个字符转换为空字符串，需要i次删除操作
    for (int i = 0; i <= len1; i++) dp[i][0] = i;
    // dp[0][j]：将空字符串转换为str2的前j个字符，需要j次插入操作
    for (int j = 0; j <= len2; j++) dp[0][j] = j;

    // 动态规划过程：填充dp表
    // 遍历str1和str2的每个字符
    for (int i = 1; i <= len1; i++) {
        for (int j = 1; j <= len2; j++) {
            // 如果当前字符相同，不需要额外操作，直接继承左上角的值
            if (str1[i - 1] == str2[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                // 如果当前字符不同，选择三种操作的最小值 + 1
                // dp[i - 1][j - 1]：替换操作
                // dp[i][j - 1]：插入操作
                // dp[i - 1][j]：删除操作
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + 1;
            }
        }
    }

    // 返回最终的编辑距离，即dp表右下角的值
    return dp[len1][len2];
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(mn)，其中m和n分别是两个字符串的长度
• 空间复杂度：O(mn)，需要一个二维数组存储动态规划的状态

示例详解

示例1："nowcoder" → "new"

1. 对于第一个位置，两个字符串都是’n’，不需要操作
2. 第二个位置，需要将’o’修改为’e’，操作数+1
3. 接下来需要删除"wcoder"这5个字符，每个字符删除操作数+1
4. 最终需要6次操作

示例2："intention" → "execution"

1. 两个字符串后缀"tion"相同，不需要操作
2. 需要修改前5个字符，每个字符修改操作数+1
3. 最终需要5次操作

总结与心得

这道题虽然看起来操作较多（增删改），但实际难度适中，比起IP地址字符串转换的题目要简单一些。关键在于理解动态规划的状态设计：

1. 一开始可能会想直接用m×n的dp数组（去掉第一行第一列），但这样是不行的。因为如果两个字符串完全相同，结果应该是0，所以需要包含这种情况。

2. 初始化很重要：第一行和第一列分别表示纯粹的删除和插入操作，这为后续的状态转移奠定了基础。

3. 状态转移方程的设计体现了问题的本质：当字符相同时不需要操作，当字符不同时取三种操作的最小值。