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【组合数学】P11362 [NOIP2024] 遗失的赋值|普及+

news 2025/7/2 10:42:47

本文涉及知识点

组合数学汇总

P11362 [NOIP2024] 遗失的赋值

题目描述

小 F 有 $n$ 个变量 $x_1, x_2, \ldots , x_n$ 。每个变量可以取 $1$ 至 $v$ 的整数取值。

小 F 在这 $n$ 个变量之间添加了 $n - 1$ 条二元限制，其中第 $i$ （ $\leq i \leq n - 1$ ）条限制为：若 $x_i = a_i$ ，则要求 $x_{i+1} = b_i$ ，且 $a_i$ 与 $b_i$ 为 $1$ 到 $v$ 之间的整数；当 $x_i \neq a_i$ 时，第 $i$ 条限制对 $x_{i+1}$ 的值不做任何约束。除此之外，小 F 还添加了 $m$ 条一元限制，其中第 $j$ （ $\leq j \leq m$ ）条限制为： $x_{c_j} = d_j$ 。

小 F 记住了所有 $c_j$ 和 $d_j$ 的值，但把所有 $a_i$ 和 $b_i$ 的值都忘了。同时小 F 知道：存在给每一个变量赋值的方案同时满足所有这些限制。

现在小 F 想知道，有多少种 $a_i, b_i$ （ $\leq i \leq n - 1$ ）取值的组合，使得能够确保至少存在一种给每个变量 $x_i$ 赋值的方案可以同时满足所有限制。由于方案数可能很大，小 F 只需要你输出方案数对 $10^9 + 7$ 取模的结果。

输入格式

本题包含多组测试数据。

输入的第一行包含一个整数 $T$ ，表示测试数据的组数。

接下来包含 $T$ 组数据，每组数据的格式如下：

第一行包含三个整数 $n, m, v$ ，分别表示变量个数、一元限制个数和变量的取值上限。

接下来 $m$ 行，第 $j$ 行包含两个整数 $c_j, d_j$ ，描述一个一元限制。

输出格式

对于每组测试数据输出一行，包含一个整数，表示方案数对 $10^9 + 7$ 取模的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

4
3
0

说明/提示

【样例 1 解释】

对于第一组测试数据，所有可能的 $a_1, b_1)$ 取值的组合 $(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)$ 都满足限制。例如， $a_1, b_1) = (1, 1)$ 时， $x_1, x_2) = (1, 1)$ 满足所有限制，而 $a_1, b_1) = (2, 2)$ 时， $x_1, x_2) = (1, 1)$ 与 $x_1, x_2) = (1, 2)$ 均满足所有限制。
对于第二组测试数据，只有 $x_1, x_2) = (1, 2)$ 一种可能的变量赋值，因此只有 $a_1, b_1) = (1, 1)$ 不满足限制，其余三种赋值均满足限制。
对于第三组测试数据，不存在一种变量赋值同时满足 $x_1 = 1$ 和 $x_1 = 2$ ，因此也不存在满足限制的 $a_1, b_1)$ 。

【样例 2】

见选手目录下的 assign/assign2.in 与 assign/assign2.ans。

该样例共有 $10$ 组测试数据，其中第 $i$ （ $\leq i \leq 10$ ）组测试数据满足数据范围中描述的测试点 $i$ 的限制。

【样例 3】

见选手目录下的 assign/assign3.in 与 assign/assign3.ans。

该样例共有 $10$ 组测试数据，其中第 $i$ （ $\leq i \leq 10$ ）组测试数据满足数据范围中描述的测试点 $i + 10$ 的限制。

【数据范围】

对于所有的测试数据，保证：

$\leq T \leq 10$ ，
$\leq n \leq 10^9$ ， $\leq m \leq 10^5$ ， $\leq v \leq 10^9$ ，
对于任意的 $j$ （ $\leq j \leq m$ ），都有 $\leq c_j \leq n$ ， $\leq d_j \leq v$ 。

测试点	$\leq$	$\leq$	$\leq$	特殊性质
$1, 2$	$6$	$6$	$2$	无
$3$	$9$	$9$	$2$	无
$4, 5$	$12$	$12$	$2$	无
$6$	$10^3$	$1$	$10^3$	无
$7$	$10^5$	$1$	$10^5$	无
$8, 9$	$10^9$	$1$	$10^9$	无
$10$	$10^3$	$10^3$	$10^3$	A
$11$	$10^4$	$10^4$	$10^4$	A
$12$	$10^5$	$10^5$	$10^5$	A
$13$	$10^4$	$10^3$	$10^4$	B
$14$	$10^6$	$10^4$	$10^6$	B
$15, 16$	$10^9$	$10^5$	$10^9$	B
$17$	$10^4$	$10^3$	$10^4$	无
$18$	$10^6$	$10^4$	$10^6$	无
$19, 20$	$10^9$	$10^5$	$10^9$	无

特殊性质 A：保证 $m = n$ ，且对于任意的 $j$ （ $\leq j \leq m$ ），都有 $c_j = j$ 。

特殊性质 B：保证 $d_j = 1$ 。

组合数学

预处理

下标改成从0开始。
v={ $c_i,d_i$ }排序去重，如果相邻的两项 $c_i$ 相同直接返回0。
令v[i]={e_i,f_i}
$\le j< e_0，a_j和b_j$ 可以任意选择。共 $v^{2\times e0}$
$e_{back} \le j <N-1，a_j和b_j$ 可以任意选择。共 $v^{2\times (N-1-e_back)}$
$\forall e_i \le j < e_{i+1}$ 共有 $x=e_{i+1}-e_i,c0=v^{2 \times x}$ 种选择。
发生冲突的方案c1 $v^{x-1}(v-1)$
冲突的方案： $a_{e_i}=f_i,b_{e_i}=a_{e_i+1}=任意 \cdots b_{e_{i+1}-1} \neq f_{e_{i+1}}$
合法方案=c0-c1。
所有区域相乘便是答案。

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>#include <bitset>
#include <chrono>
using namespace std::chrono;
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) ;return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5, T6>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) ;return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};template<long long MOD = 1000000007, class T1 = int, class T2 = long long>
class C1097Int
{
public:C1097Int(T1 iData = 0) :m_iData(iData% MOD){}C1097Int(T2 llData) :m_iData(llData% MOD) {}C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = ((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator-(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD);}C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const{return((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const{return *this * o.PowNegative1();}C1097Int& operator/=(const C1097Int& o){*this *= o.PowNegative1();return *this;}bool operator==(const C1097Int& o)const{return m_iData == o.m_iData;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(T2 n)const{C1097Int iRet = (T1)1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}T1 ToInt()const{return ((T2)m_iData + MOD) % MOD;}
private:T1 m_iData = 0;;
};typedef C1097Int<> BI;
class Solution {
public:int Ans(const int N, const int v, vector<pair<int, int>>& cd) {sort(cd.begin(), cd.end());cd.erase(unique(cd.begin(), cd.end()), cd.end());for (auto& [c, d] : cd) { c--; }for (int i = 1; i < cd.size(); i++) {if (cd[i].first == cd[i - 1].first) { return 0; }}BI ans = BI(v).pow(2 * cd[0].first);ans *= BI(v).pow(2 * (N - 1 - cd.back().first));for (int i = 0; i + 1 < cd.size(); i++) {const int x = cd[i + 1].first - cd[i].first;ans *= (BI(v).pow(2 * x) - BI(v).pow(x - 1) * (v - 1));}return ans.ToInt();}
};
int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;int T;cin >> T;while(T--){ int n, m, v;cin >> n >> m >> v;auto cd = Read<pair<int, int>>(m);
#ifdef _DEBUG	printf("N=%d,v=%d", n,v);Out(cd, ",cd=");//Out(B, ",B=");//Out(que, ",que=");
#endif // DEBUG		Solution slu;auto res = Solution().Ans(n,v,cd);cout << res << "\n";}return 0;
}

单元测试

vector<pair<int, int>> cd;TEST_METHOD(TestMethod11){N = 2, v = 2, cd = { {1,1} };auto res = Solution().Ans(N,v,cd);AssertEx(4, res);}TEST_METHOD(TestMethod12){N = 2, v = 2, cd = { {1,1},{2,2} };auto res = Solution().Ans(N, v, cd);AssertEx(3, res);}TEST_METHOD(TestMethod13){N = 2, v = 2, cd = { {1,1},{1,2} };auto res = Solution().Ans(N, v, cd);AssertEx(0, res);}

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