一文速通基础——微分方程
目录
一、可分离变量的微分方程
1. 一般形式
2. 求通解步骤
3. 例题
例1
二、齐次方程
1. 一般形式
2. 求通解步骤
3. 例题
例1
三、一阶线性微分方程
1. 一般形式
2. 求解步骤
(1) 一阶齐次线性微分方程通解
(2) 一阶非齐次线性微分方程通解
3. 例题
例1
四、可降阶的高阶微分方程
1. 一般形式
类型一
类型二
类型三
2. 求解方法
3. 例题
例1
例2
例3
五、高阶线性微分方程
1. 一般形式
【方程（6-5）】
【方程（6-6）】
2. 定理(P331)
定理1
线性无关
定理2
推论
定理3(非齐通=齐通+非齐特)
定理4
3. 例题
例1
六、常系数齐次线性微分方程
1. 一般形式
二阶常系数齐次线性方程
n阶常系数齐次线性方程
2. 求解步骤
二阶常系数齐次线性方程
n阶常系数齐次线性方程
3. 例题
例1
例2
七、常系数非齐次线性微分方程
1. 一般形式
2. 求解步骤
3. 例题
例1
附加知识点
1. 解的性质
2. 通解结构
注：一到四讨论的都是一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
1. 一般形式
2. 求通解步骤
①分离变量
移项，变形为等式一边只含 y 和 dy 另一边只含 x 和 dx.
②两端积分
对移项后的等式两端积分.
③写出通解
根据具体情况进行化简.
3. 例题
例1
二、齐次方程
1. 一般形式
2. 求通解步骤
①移项凑形
移项，等式左边为 dy/dx，等式右边的变量全为 y/x.
②换元法
令 u=y/x，并且：
③代入方程
④分离变量
⑤两端积分
⑥回代 y/x=u
3. 例题
例1
三、一阶线性微分方程
1. 一般形式
2. 求解步骤
(1) 一阶齐次线性微分方程通解
(2) 一阶非齐次线性微分方程通解
3. 例题
例1
四、可降阶的高阶微分方程
1. 一般形式
类型一
类型二
类型三
2. 求解方法
3. 例题
例1
例2
例3
五、高阶线性微分方程
1. 一般形式
【方程（6-5）】
【方程（6-6）】
2. 定理(P331)
定理1
线性无关
定理2
推论
定理3(非齐通=齐通+非齐特)
定理4
3. 例题
例1
六、常系数齐次线性微分方程
1. 一般形式
二阶常系数齐次线性方程
n阶常系数齐次线性方程
2. 求解步骤
二阶常系数齐次线性方程
n阶常系数齐次线性方程
3. 例题
例1
例2
七、常系数非齐次线性微分方程
1. 一般形式
2. 求解步骤
3. 例题
例1
附加知识点
1. 解的性质
齐次方程的解的差：仍然是齐次方程的解.
齐次方程的解的和：仍然是齐次方程的解.
非齐次方程的解的差：是对应齐次方程的解（前提是两个解都是纯粹的特解）.注：非齐次方程的解的和：是对应齐次方程的解（前提是两个解都是纯粹的特解）.❌错误的
2. 通解结构
齐次方程的通解 = "一个或多个常数×一个或多个特解"的组合.
非齐次方程的通解 = 齐次通解 + 一个特解.
1. 解的性质 与 2. 通解结构 有什么用？来看下面三道题：
