2024百度之星：BD202404 110串

题目描述

给定一个$01$序列 a 1 a 2 … a n , a i ∈ { 0 , 1 } a_1a_2\ldots a_n,a_i\in \{0,1\} a1​a2​…an​,ai​∈{0,1}

我们可以修改该序列的任意一个数字，可以将$0$变成$1$，也可以将$1$变成$0$，注意不能删除或增加数字。

请问，修改不超过$k$个数字能让给定的序列中不含有特定的一个子串$110$的方案数有多少种，由于答案很大输出对$998244353$以后的结果即可。

格式：

输入格式：

第1行2个整数$n,k$，表示$01$序列的长度和最多可修改的数字个数。

第2行$n$个字符 a 1 a 2 … a n , a i ∈ { 0 , 1 } a_1a_2\ldots a_n,a_i\in \{0,1\} a1​a2​…an​,ai​∈{0,1}。

输出格式：

输出$1$行，表示修改不超过$k$个数字让给定的序列中不含有 110的方案数对$998244353$以后的结果。

样例 1

输入：

5 2

11000

输出：

8

备注

【样例部分数据解释】

共有01000,10000,00000,10100,10010,10001,01001,01010这几种情况。

【数据范围】

对于全部数据满足$1\le n\le 5000,0\le k\le 5000$

AC代码及其注释

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {int mod = 998244353;Scanner sc = new Scanner(System.in);// 序列的长度int n = sc.nextInt();// 可修改的次数int k = sc.nextInt();String str = sc.next();char[] strChar = str.toCharArray();sc.close();// 3种状态,0:0结尾(000,010,100,110(x)),1:1(001,101),2:11(011,111),其实还可以设一个不合法状态,但感觉用不上int[][][] dp = new int[n + 2][k + 1][3];dp[0][0][0] = 1;
//        dp[0][0][1] = 1;
//        dp[0][0][2] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= k; j++) {if (strChar[i - 1] == '0') {// 为0// 先不改dp[i][j][0] = (dp[i][j][0] + (dp[i - 1][j][0] + dp[i - 1][j][1]) % mod) % mod;// 改的方案数,此时当前值为1// 01if (j >= 1) {dp[i][j][1] = (dp[i][j][1] + dp[i - 1][j - 1][0]) % mod;// 11或者111,其实都一样dp[i][j][2] = (dp[i][j][2] + (dp[i - 1][j - 1][1] + dp[i - 1][j - 1][2]) % mod) % mod;}} else {// 此时为1// 先不改// 01dp[i][j][1] = (dp[i][j][1] + dp[i - 1][j][0]) % mod;// 11或者111dp[i][j][2] = (dp[i][j][2] + (dp[i - 1][j][1] + dp[i - 1][j][2]) % mod) % mod;// 改的方案数if (j >= 1) {dp[i][j][0] = (dp[i][j][0] + (dp[i - 1][j - 1][0] + dp[i - 1][j - 1][1]) % mod) % mod;}}}}long result = 0;for (int i = 0; i <= k; i++) {result = (result + ((dp[n][i][0] + dp[n][i][1])%mod + dp[n][i][2])%mod)%mod;}System.out.println(result);}}

当然，如果上述代码不好理解，我们也可以分多几个状态进行讨论，下面给出了基于8个状态进行讨论的代码：

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {int mod = 998244353;Scanner sc = new Scanner(System.in);// 序列的长度int n = sc.nextInt();// 可修改的次数int k = sc.nextInt();String str = sc.next();char[] strChar = str.toCharArray();sc.close();// 现在我们分8种情况// 0:000// 1:001// 2:010// 3:011// 4:100// 5:101// 6:110(该情况不合法,不予考虑)// 7:111int[][][] dp = new int[n + 2][k + 1][8];dp[0][0][0] = 1;
//        dp[0][0][1] = 1;
//        dp[0][0][2] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= k; j++) {if (strChar[i - 1] == '0') {// 为0// 先不改// 处理以0结尾的// 000的方案数,应该是之前以00结尾的方案之和dp[i][j][0] = (dp[i][j][0] + (dp[i - 1][j][0] + dp[i - 1][j][4]) % mod) % mod;// 010的方案数,应该是之前以01结尾的方案之和dp[i][j][2] = (dp[i][j][2] + (dp[i - 1][j][1] + dp[i - 1][j][5]) % mod) % mod;// 100的方案数,应该是之前以10结尾的方案之和,其中dp[i - 1][j][6]不合法,不进行统计dp[i][j][4] = (dp[i][j][4] + dp[i - 1][j][2]) % mod;// dp[i][j][6]不合法,不统计// 改的方案数,此时当前值为1// 处理以1结尾的if (j >= 1) {// 001的方案数,应该是之前以00结尾的方案之和dp[i][j][1] = (dp[i][j][1] + (dp[i - 1][j - 1][0] + dp[i - 1][j - 1][4]) % mod) % mod;// 011的方案数,应该是之前以01结尾的方案之和dp[i][j][3] = (dp[i][j][3] + (dp[i - 1][j - 1][1] + dp[i - 1][j - 1][5]) % mod) % mod;// 101的方案数,应该是之前以10结尾的方案之和dp[i][j][5] = (dp[i][j][5] + dp[i - 1][j - 1][2]) % mod;// 111的方案数,应该是之前以11结尾的方案之和dp[i][j][7] = (dp[i][j][7] + (dp[i - 1][j - 1][3] + dp[i - 1][j - 1][7]) % mod) % mod;}} else {// 先不改// 此时为1// 处理以1结尾的// 001的方案数,应该是之前以00结尾的方案之和dp[i][j][1] = (dp[i][j][1] + (dp[i - 1][j][0] + dp[i - 1][j][4]) % mod) % mod;// 011的方案数,应该是之前以01结尾的方案之和dp[i][j][3] = (dp[i][j][3] + (dp[i - 1][j][1] + dp[i - 1][j][5]) % mod) % mod;// 101的方案数,应该是之前以10结尾的方案之和dp[i][j][5] = (dp[i][j][5] + dp[i - 1][j][2]) % mod;// 111的方案数,应该是之前以11结尾的方案之和dp[i][j][7] = (dp[i][j][7] + (dp[i - 1][j][3] + dp[i - 1][j][7]) % mod) % mod;// 改的方案数if (j >= 1) {// 处理以0结尾的// 000的方案数,应该是之前以00结尾的方案之和dp[i][j][0] = (dp[i][j][0] + (dp[i - 1][j - 1][0] + dp[i - 1][j - 1][4]) % mod) % mod;// 010的方案数,应该是之前以01结尾的方案之和dp[i][j][2] = (dp[i][j][2] + (dp[i - 1][j - 1][1] + dp[i - 1][j - 1][5]) % mod) % mod;// 100的方案数,应该是之前以10结尾的方案之和,其中dp[i - 1][j][6]不合法,不进行统计dp[i][j][4] = (dp[i][j][4] + dp[i - 1][j - 1][2]) % mod;}}}}long result = 0;// 问的不大于修改数k的方案数for (int i = 0; i <= k; i++) {result = (result + (((((((dp[n][i][0] + dp[n][i][1]) % mod + dp[n][i][2]) % mod + dp[n][i][3]) % mod + dp[n][i][4]) % mod + dp[n][i][5]) % mod + dp[n][i][7]) % mod)) % mod;}System.out.println(result);}}

参考资料：

https://www.matiji.net/exam/brushquestion/4/4498/F16DA07A4D99E21DFFEF46BD18FF68AD