第二课 数列极限的定义与性质

第二课 数列极限的定义与性质

一、 上一课回顾

1. 函数定义回顾

函数是数集间的对应关系，可理解为一种变换。

2. 特殊函数介绍

特殊函数包括狄利克雷函数和取整函数，后续课程将频繁涉及。

3. 函数特性讲解

考研考纲要求的函数特性包括单调性、有界性、周期性和奇偶性，需掌握其数学表达。

1）奇偶性（Parity）

• 偶函数：满足 $f(-x)=f(x)$，图像关于 y轴对称。
• 奇函数：满足 $f(-x)=-f(x)$，图像关于 原点对称。
• 判断重点：先看定义域是否关于原点对称，再代入判断公式。

2）单调性（Monotonicity）

• 单调递增：$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)$；
• 单调递减：$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)$；
• 判断方法：可通过导数符号判断，$f^{\prime }(x)>0$ 表示递增，$f^{\prime }(x)<0$ 表示递减。

3）有界性（Boundedness）

• 函数在某区间内若有最大值或最小值，称为有界；
• 若函数值不超过某个常数，称为上界，不小于某常数为下界；
• 有界函数：既有上界又有下界。

4）周期性（Periodicity）

• 函数满足 $f(x+T)=f(x)$（$T>0$），称其为周期函数；
• 最小正 $T$ 为最小周期；
• 常见周期函数：三角函数（如 $\sin x,\cos x$ 周期为 $2\pi$）。

4. 函数运算

复合函数解题需采用整体思想。

1) 复合运算

复合函数奇偶性判断是常见考点，例如：

• sin(cosx) 的奇偶性分析
• sin³x 的奇偶性判定
• tan(arcsinx) 的奇偶性探究

复合函数奇偶性判定规则如下：

• 不同则偶：若 f 与 g 奇偶性相异（如奇函数与偶函数复合），则复合函数必为偶函数
• 相同则同：若 f 与 g 奇偶性相同（同为奇或偶函数），则复合函数奇偶性与原函数一致

证明过程：

• 设 f 为奇函数（f(t) = -f(-t)），g 为偶函数（g(x) = g(-x)），则 f(g(-x)) = f(g(x))，符合偶函数定义
• 设 f 为偶函数（f(t) = f(-t)），g 为奇函数（g(x) = -g(-x)），则 f(g(-x)) = f(-g(x)) = f(g(x))，仍为偶函数

5. 反函数

反函数定义需明确以下要点：

• 一一对应函数 y=f(x) 可在值域上定义反函数
• 反函数标准记法为 x=f⁻¹(y)
• 考研范畴内反函数与原函数视为同一函数的不同表达式

1) 反函数定义

反函数本质是对应法则的逆向关系：

• y=x³ 的反函数为 x=y^(1/3)
• 自变量命名不影响函数关系（如 x=φ(y) 与 y=φ(x) 数学等价）
• 考研要求严格保持原函数与反函数的变量对应关系

2) 反函数图像性质

反函数图像变换规则：

• 函数形式：y=f(x) 为原函数曲线；y=f⁻¹(x) 关于 y=x 对称

反函数与原函数图像的关系

反函数图像对称性证明：通过坐标系旋转 180° 实现自变量与因变量轴互换，几何上表现为关于 y=x 直线的对称。

如何绘制反函数的图像

反函数绘图步骤：

1. 保持原函数曲线 y=f(x) 不变
2. 交换坐标轴（横轴表示 y，纵轴表示 x）
3. 旋转 180° 使新横轴水平

图像旋转的直观演示

坐标系旋转的数学实质：通过 y=x 直线为旋转轴进行空间变换，实现函数表达式与图像的同步转换。

3) 反三角函数图像

• 坐标系旋转后图像同步旋转，形成 x=f⁻¹y 的图像
• 自变量与因变量符号交换后图像变为 y=f⁻¹x
• 函数图像对称性原理：y=fx 与 y=f⁻¹x 关于 y=x 对称
• 绘图辅助方法：可通过白纸翻折 180 度观察对称图像

arcsin 图像

• 基础函数关系：y=arcsinx 与 y=sinx 关于 y=x 对称
• 主值区间定义：限定在 [-π/2,π/2] 区间以保证函数单值性
• 定义域转换：原函数值域 [-1,1] 变为反函数定义域
• 值域转换：原函数定义域 [-π/2,π/2] 变为反函数值域
• 函数性质要求：严格一一对应是反函数存在的前提条件

arccos 图像

对比项	arcsin	arccos
主值区间	[-π/2,π/2]	[0,π]
单调性	严格单调增	严格单调减
奇偶性	奇函数	非奇非偶
图像绘制方法	旋转 sinx 主值区间图像	旋转 cosx 主值区间图像

arctan 图像

• 主值区间选择：限定在 (-π/2,π/2) 保证函数单射性
• 渐近线变化：原函数垂直渐近线转为反函数水平渐近线
• 函数特性：
  • 奇函数性质：arctan(-x) = -arctan x
  • 极限计算应用：在 ±∞ 处存在明确极限值 ±π/2
• 考试重点：arcsin 与 arctan 为高频考查对象

4) 反三角函数总结

反函数的原理在于确定反三角函数的来源。y=sin、cos 和 tan 的反函数分别为：

• x=arcsin y
• x=arccos y
• x=arctan y

但需满足特定区间要求。例如：对于 y=sin x，其反函数 x=arcsin y 的定义域为 x∈[-π/2,π/2]。

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二、反函数

1. 反函数区间讨论

反函数的定义需严格限定区间。例如，y=sin x 在 x∈[-π/2,π/2] 上的反函数为 x=arcsin y，其他区间需通过图像对称性或周期性推导。

2. 反函数图像绘制

绘制反函数图像时需调整比例尺，如正弦函数图像呈细长条形，需通过调整 y 轴比例尺优化显示效果。

3. 任意区间反函数

任意区间上 y=sin x 的反函数可通过对称性和周期性推导。例如：

• x∈[-π/2,π/2]，反函数为 x=arcsin y
• x∈[π/2,3π/2]，反函数为 x=π−arcsin y

4. 反函数对称性

反函数的对称性可用于推导其他区间表达式。例如，若点 (arcsin y, y) 关于 x=π/2 对称，则对称点坐标为 (π−arcsin y, y)，对应反函数为 x=π−arcsin y。

5. 反函数周期性

利用周期性可扩展反函数定义区间。例如：

• x∈[3π/2,5π/2]，反函数为 x=arcsin y+2π
• x∈[-3π/2,-π/2]，反函数为 x=−π−arcsin y

6. 反函数推导方法

反函数推导的核心方法是画水平线确定交点坐标，无需记忆公式，但需掌握：

• 对称性（如关于 x=π/2 对称）
• 周期性（如平移 2π 单位）的应用

7. 三角函数反函数

余弦函数 y=cos x 的反函数推导方法与正弦函数类似，需结合对称性和周期性分析。

8. 余弦函数反函数

余弦函数反函数的区间推导示例如下：

• x∈[0,π]，反函数为 x=arccos y
• x∈[π,2π]，反函数为 x=2π−arccos y
• x∈[-π,0]，反函数为 x=−arccos y

9. 正切函数反函数

正切函数 y=tan x 的反函数推导主要依赖周期性：

• x∈[-π/2,π/2]，反函数为 x=arctan y
• x∈[π/2,3π/2]，反函数为 x=arctan y+π
• x∈[-3π/2,-π/2]，反函数为 x=arctan y−π

10. 反函数总结

反函数推导需综合运用对称性、周期性和奇偶性，课后需通过绘图练习巩固。考试可能考查特定区间反函数的推导过程，而非直接应用公式。

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三、隐函数

1. 隐函数定义

隐函数是由方程确定的二元函数关系，任意方程均可定义隐函数。

2. 显函数与隐函数

• 显函数：直接明确表达变量间对应关系的函数形式
• 隐函数：通过方程隐含表达的变量间对应关系，无法直接显式表示

3. 隐函数存在性

方程	显式转换结果	隐函数特征
x + y = 0	y = -x 或 x = -y	可显式转换
x² + y² = 9	y = ±√(9-x²)	需分段讨论

注：并非所有隐函数均可显式转换，如高阶方程可能无法解析表达。

4. 隐函数应用

• 隐函数存在定理需高等数学下册知识推导，现阶段可默认方程均可定义隐函数
• 考试处理原则：考题均保证隐函数可操作，无需考虑存在性例外情况
• 典型特征：多数隐函数无法显式表达为 y=f(x) 形式，但题目会明确给定对应关系

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四、极坐标函数

1. 极坐标定义

参数方程与极坐标函数相关内容已在导学阶段详细讲解，涉及百线、心脏线、心形线等考研常见曲线，建议复习导学资料掌握基本图像特征。

…

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五、数列极限

第一章的第二部分内容为极限函数，包含极限与连续中的极限概念。极限可分为数列极限和函数极限两类，其中数列极限是函数极限的基础。

1. 数列定义

• 高中阶段将数列定义为数的集合，通常涉及有穷数列。
• 高等数学中需将数列视为自变量离散化的函数，通项公式可表示为 fn，n 为自然数。
• 大学研究的数列均为无限项数列，以便分析极限。

2. 数列函数特性

将数列视为函数后，可通过二维平面研究其趋势，优于一维数轴分析法。数列具有以下函数特性：

• 单调性：通过比较 xn 与 xn+1 的大小关系判断。
• 有界性：判断数列值是否在有限范围内波动。
• 周期性与奇偶性：数列通常不具备这两种性质，因定义域不对称且离散。

3. 数列有界性

有界性包含上界与下界，需证明数列大于等于某值且小于等于某值。例如，正项数列显然大于等于零，上界需通过合理放缩确定。

4. 单调有界原则

单调性与有界性结合可推导数列极限存在性，称为单调有界原则。该原则是后续判断极限存在的重要工具。

5. 例题：数列证明

以数列 xn=√(2+√(2+…+√2))（n 重根号）为例：

• 单调性证明：xn+1=√(2+xn)，因根号内增加正数，显然 xn+1 > xn。
• 有界性证明：通过放缩法，将根号内的 2 放大为 2，迭代可得 xn ≤ 2，结合 xn ≥ 0，证得数列有界。

6. 极限定义

极限的严格定义解决了第二次数学危机中“无穷小”的模糊性问题。定义核心为：

对于任意 ε>0，存在 N∈ℕ⁺，使得当 n>N 时，|xn−a|<ε 恒成立。

7. 极限本质

极限定义是微积分的基石，需明确“无穷接近”的数学描述。尽管直接考察定义的证明题罕见，但理解其本质对后续概念（如连续性、导数）至关重要。

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六、数列极限定义

1. 数列极限几何直观

数列极限的几何意义需通过具体实例理解。以下通过三个典型数列分析其趋近于零的模式：

1) 数列收敛示意图

• 数列 xn=1/n：当 n 趋近于无穷大时，1/n 无限接近于零，表现为单调递减逼近 x 轴。
• 数列 yn=(-1)^n/n：震荡幅度随 n 增大而减小，最终在零附近无限趋近。
• 数列 zn=(1-(-1)^n)/2n：呈现间歇性趋零特征，非零项与零的距离随 n 增大而无限缩小。

核心结论： 三种数列均以不同模式收敛于零，体现极限的多样性。

2) 震荡收敛模式

• yn 数列：通过正负交替震荡逼近零，震荡收敛的典型范例。
• zn 数列：以“零-非零”交替形式收敛，非连续趋近但最终无限接近零。

几何意义：无论收敛模式如何差异，只要数列项与极限值的距离可无限缩小，即符合极限定义。

2. 极限精确定义

极限的数学本质为“距离无限趋近”，需通过 ε-N 语言严格表述：

1) 距离无穷小定义

定义核心：若数列 {xn} 与常数 a 的距离 |xn - a| 可小于任意给定正数 ε，则称 {xn} 收敛于 a。

实例验证：

• 对于 xn=1/n，当 n > 1/ε 时，|xn - 0| < ε 恒成立，证明其收敛于零。

2) 极限数学表达式

符号	含义	关系说明
∀ε>0	任意小正数	距离比较基准
∃N∈ℕ	临界项数	保证 n > N 时成立
	xn - a	<ε
lim xn=a	极限表达式	收敛的数学表述

关键点： 极限定义解决了“无限接近”的量化问题，为微积分奠定理论基础。

3. 第二次数学危机

极限的严格定义（ε-N 语言）解决了第二次数学危机中无穷小量是否为零的争议：

• 零数列：作为特殊的无穷小数列，符合极限定义。
• 非零无穷小：如 1/n，虽不等于零但可无限趋近，两者均被纳入统一框架。

1) 魏尔斯特拉斯贡献

• 历史意义：柯西与魏尔斯特拉斯提出的极限定义，使微积分从应用工具发展为严密数学体系。
• 学习启示：掌握极限定义是理解后续微分积分概念的基础。

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七、无穷小与无穷大

1. 无穷小数列定义

定义：若数列极限为零，则称其为无穷小数列。

典型例子：

• 1/n：单调递减趋零。
• qⁿ (|q|<1)：如 (−5)ⁿ，等比衰减至零。
• e^(−n)：指数型衰减，收敛速度快。

2. 无穷小性质

1) 极限与无穷小关系

• 命题：若 lim xn = a，则 {xn − a} 为无穷小数列。
• 注意：极限运算不可简单类比代数运算，需严格依据定义验证。

2) 无穷小加减性质

• 若 xn 和 yn 均为无穷小量，则其和或差仍为无穷小量。
• 有限个无穷小量之和：仍为无穷小量。
• 无限个无穷小量之和：
  • 结果可能为无穷小量、常数或无穷大量，具体取决于求和方式。例如：
    • n 个 1/n 相加极限为 1
    • n² 个 1/n 相加极限为无穷大
    • n 个 1/n² 相加极限为 0
• 未定式概念：
  • 无穷小量与无穷大量乘积的结果不确定，需具体计算判定，此类表达式称为“未定式”。

3) 无穷小乘有界量

• 核心结论：无穷小量乘有界量，结果仍为无穷小量。
• 典型例子：1/n × sin(n)，其极限为 0。

证明层级说明：

• 最重要证明：需独立完成的基本定理证明（如中值定理），讲义中留空并由课堂详细推导。
• 次重要证明：已写明的定理证明（如罗尔定理），需理解思路并在辅助下复现。
• 了解性证明：标注“了解”的非考试内容（如无穷小乘有界量证明），供兴趣参考。
• 非必要证明：超纲内容，仅课堂提及，无需掌握。

3. 无穷大数列定义

• 无穷大定义：若数列 xn 满足：对任意正数 M，存在 N 使得当 n > N 时 |xn| > M，则称 xn 为无穷大量，记作极限为无穷。

说明：

• 极限存在性：极限存在要求结果为常数，无穷大仅是趋势描述，实际极限不存在。

无穷小与无穷大关系：

• 1 除以无穷小量为无穷大；
• 1 除以无穷大量为无穷小；
• 注意事项：数学定义中极限值 a 必须为实数，无穷大不属于常数范畴。

4. 无穷大与无界关系

明确以下逻辑：

1) 无穷大 ⇒ 无界

• 无穷大数列必然无界：数列趋向无穷时，无法被任何有限数界限制。
• 几何直观解释：数列项无限增大时，不存在上下界约束。

2) 无界 ≠ 无穷大

• 无界数列未必无穷大，例如：
  • 数列 1, 0, 2, 0, 3, 0,… 无界，但因存在无限个零项，不满足无穷大定义。
• 无穷大数列的严格定义：对任意正数 M，存在某项之后所有项绝对值均大于 M。
• 震荡数列的反例：如 (−1)ⁿ·n，虽震荡但极限为无穷，需结合定义判断。

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八、课程总结

• 反函数与极限定义是函数部分的核心难点，需深入理解 ε-N 语言。
• 无穷大与无界的关系通过定义与反例强化逻辑辨析能力。