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K-Means算法详细解析：从原理到实践

news 2025/8/16 11:26:16

前言

K-Means 是一种非常经典、常用的 聚类算法。它属于无监督学习范畴，广泛应用于图像压缩、市场细分、社交网络分析、用户画像等场景。本文将由浅入深逐带你逐步全面了解 K-Means这个算法的原理到底是什么。

聚类介绍

**聚类（Clustering）**是将数据按“相似性”划分为若干组的过程，每组称为一个“簇（Cluster）”。

输入：一堆没有标签的数据点。
输出：这些点被划分为 K 组，每组内点相似、组与组之间差异大。

可以这么理解：老师把学生按身高或成绩分成不同的小组。

K-Means 介绍

K-Means 是一种“划分式聚类算法”。它的目标是：将数据划分成 K 个簇，使得同簇样本尽可能相似，不同簇样本尽可能不同。

每个簇用一个“质心（Centroid）”表示，质心就是这组数据的平均点。

K-Means 算法流程

K-Means 的算法流程很简单，说白了就是搞一个分组游戏，比如下数据划分。

输入：

数据集 $\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$
要分成的簇数 K

步骤：

初始化 K 个中心点（质心）：随机选 K 个样本点作为初始质心。
分配步骤（Assignment step）：将每个样本分配给最近的质心。
更新步骤（Update step）：对每个簇，计算其所有成员的平均值作为新的质心。
迭代执行步骤 2 和 3，直到质心不再变化或达到最大迭代次数。

目标函数：
K-Means 实际上在最小化所有点到其所属簇中心的欧几里得距离平方之和，即：

$\sum_{i=1}^{K} \sum_{x \in C_i} \| x - \mu_i \|^2$

其中 $C_i$ 是第 i 个簇， $\mu_i$ 是该簇的质心。

数学原理理解

选“质心”

因为根据数学推导，一组点到某个点的欧几里得平方距离和最小值，就是所有点的平均值。这也解释了为什么质心更新为“平均值”。

能收敛

K-Means 迭代过程中，每一步都在减少目标函数 $J$ 的值，且 K 种分法有限，所以必定收敛（虽然可能收敛到局部最优）。

K 的选取问题

K 是一个超参数，用户需要手动指定。

常见选法：

肘部法（Elbow Method）：

计算不同 K 值下的总误差平方和 SSE（Sum of Squared Errors）。
绘制 K vs SSE 曲线，找到“SSE下降明显变缓”的“肘部”，这个点对应的 K 就是最优值。

这么做，画一张图，横轴是 K 值，纵轴是聚类误差（SSE）。

K 小的时候，增加 K 会显著降低误差；
当 K 增大到一定值时，误差下降幅度变小；
那个“下降开始变缓的转折点”就像人的“手肘”——就是最优 K！

import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.datasets import make_blobsX, _ = make_blobs(n_samples=500, centers=5, random_state=42)sse = []
K_range = range(1, 10)
for k in K_range:kmeans = KMeans(n_clusters=k, random_state=42)kmeans.fit(X)sse.append(kmeans.inertia_)  # inertia_ 就是 SSEplt.plot(K_range, sse, marker='o')
plt.xlabel("K")
plt.ylabel("SSE")
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.title("肘部法选择最佳K")
plt.show()

在这里插入图片描述

轮廓系数（Silhouette Coefficient）：

衡量样本在簇内的紧密程度与簇间的分离度，值越高越好。
在这里插入图片描述

from sklearn.metrics import silhouette_scorescores = []
for k in range(2, 10):kmeans = KMeans(n_clusters=k, random_state=42)labels = kmeans.fit_predict(X)score = silhouette_score(X, labels)scores.append(score)plt.plot(range(2, 10), scores, marker='o')
plt.xlabel("K")
plt.ylabel("轮廓系数")
plt.title("用轮廓系数选最佳K")
plt.show()

在这里插入图片描述

K-Means 的优缺点

优点：

算法简单高效，易实现
聚类结果容易理解
速度快，适合大规模数据

缺点：

必须预先指定 K
对初始质心敏感，可能陷入局部最优
不能处理非球形或不同大小密度的簇
对异常值敏感

K-Means示例代码

我们用 sklearn 快速实现 K-Means 聚类：

import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import font_manager
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.datasets import make_blobs# 生成模拟数据
X, y_true = make_blobs(n_samples=300, centers=4, cluster_std=1, random_state=42)
font = font_manager.FontProperties(fname='C:/Windows/Fonts/simfang.ttf')
# 可视化数据
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], s=30)
plt.title("原始数据分布", fontproperties=font)
plt.show()# KMeans 聚类
kmeans = KMeans(n_clusters=4)
kmeans.fit(X)
y_kmeans = kmeans.predict(X)# 可视化聚类结果
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y_kmeans, cmap='viridis')
plt.scatter(kmeans.cluster_centers_[:, 0], kmeans.cluster_centers_[:, 1],s=200, c='red', marker='X')
plt.title("K-Means 聚类结果", fontproperties=font)
plt.show()