【分析学】 实数

常见数集的定义

1. 自然数的定义 (2000年将0纳入自然数的集合)
   N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ , } \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\cdots,\} N={0,1,2,3,⋯,}.

2. 整数的定义
   Z = { 0 , 1 , − 1 , 2 , − 2 , 3 , − 3 , ⋯ } \mathbb{Z}=\{0,1,-1,2,-2,3,-3,\cdots\} Z={0,1,−1,2,−2,3,−3,⋯}

3. 有理数的定义
   可以表示为小数部分是从某位往开始若干位循环的。即存在有限位小数 $M$ 与正整数 $T$,
   $$q=M+0.0\cdots 0a_1{a}_2\cdots a_T{a}_1{a}_2\cdots a_T\cdots a_1{a}_2\cdots a_T\cdots .$$
   其中 $a_i$ 是集合 { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 中的一个元素。

4. 有理数的等价定义
   $$\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}|m\in \mathbb{Z},n\in {\mathbb{N}}_{+},\gcd (m,n)=1\right\}$$
   其中 $\gcd (m,n)$ 表示 $m,n$ 的最大公因数。

5. 无理数的定义
   无限不循环小数
   例如 $\pi ,e,\sqrt{2},\sqrt[3]{5}$ 等

实数建立的两种方式

实数系基本公理

• 域公理：实数集对加，减，乘，除，（除数非零）封闭满足交换律，结合律，分配率等运算性质.

  1. 加法交换律 $a+b=b+a$,
  2. 乘法交换律 $ab=ba$,
  3. 加法结合律 $a+b+c=a+(b+c)$
  4. 乘法结合律 $abc=a(bc)$
  5. 分配率 $(a+b)c=ab+ac$
  6. 零元 $0+a=a=a+0$
  7. 幺元 $1a=a=a1$
  8. 负元 任意 $a\in \mathbb{R}$, $\exists b\in \mathbb{R}$, $a+b=0=b+a$，记$b=-a$
  9. 逆元 任意 a ∈ R ∖ { 0 } a\in \mathbb{R}\setminus\{0\} a∈R∖{0} ∃ c ∈ R ∖ { 0 } \exists c\in \mathbb{R}\setminus\{0\} ∃c∈R∖{0}, $ac=1=ca$ 记为 $c=\frac{1}{a}=a^{-1}$.

• 序公理 任意两个实数可以通过 $<,=,>$ 中的一个比较大小。并且满足传递性

  1. 传递性 $a<b且b<c\to a<c$
  2. $a<b\leftrightarrow b>a$
  3. 传递性 $a=b且b=c\to a=c$
  4. 对称性 $a=b\leftrightarrow b=a$
  5. 反身性 $a=a$

实数系的完备性

完备性的公理

上确界刻画

任何非空有上界的实数子集 $S\subset \mathbb{R}$ 都有上确界。上确界的定义：
sup ⁡ S = { a ∣ ∀ b ∈ S ⇒ a ≤ b } ∩ { a ∣ ∀ δ > 0 , ∃ a ∈ S ⇒ a + δ > b } \sup S=\{a| \forall b\in S \Rightarrow a\leq b\} \cap \{a| \forall \delta>0,\exists a\in S \Rightarrow a+\delta> b \} supS={a∣∀b∈S⇒a≤b}∩{a∣∀δ>0,∃a∈S⇒a+δ>b}. 有理数的子集合未必有有理数的上确界例如 Q ′ = { 1 ， 1.4 ， 1.41 ， 1.414 , 1.41421 , ⋯ } Q'=\left\{ 1， 1.4， 1.41， 1.414, 1.41421 ,\cdots\right\} Q′={1，1.4，1.41，1.414,1.41421,⋯} 上确界为 $\sqrt{2}$.

完备性的构造

给定有上界的实数子集 $S\subset \mathbb{R}$, 则可以对所有实数进行比较，构造上确界。

上确界的构造

$a=M+0.a_1{a}_2{a}_3\cdots a_n\cdots$， 注 $M$ 为不超过 a 的最大整数。(例如 $3.14$ 取 $3$, $-3.14$ 取 $-4$), 其中 $M$ 是取 $S$ 数集中的整数部分最大的，其次从$a_1$ 开始一次比较整数部分同为 $M$ 的所有实数中十分位最大整数，依次类推定义 $a_n$ 为前 $10^{-n+1}$ 位都相同，但是 $10^{-n}$ 分为最大的整数。因此存在上确界。

复数*

C = { a + i b , a ∈ R , b ∈ R , i 2 = − 1 } \mathbb{C}=\{a+\mathbf{i} b, a\in \mathbb{R},b\in \mathbb{R}, i^2=-1\} C={a+ib,a∈R,b∈R,i2=−1}.