CQF预备知识：Python相关库 -- 插值过渡指南 scipy.interpolate
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插值过渡指南
1. 如何从使用 interp2d 过渡
interp2d 会在二维规则网格插值和二维散乱数据插值之间静默切换。切换基于 (raveled) x、y 和 z 数组的长度。简而言之，对于规则网格，使用 scipy.interpolate.RectBivariateSpline；对于散乱插值，使用 bisprep/bisplev 组合。下面我们将给出逐点过渡的示例代码，这些代码应该能够精确地保留 interp2d 的结果。
1.1 interp2d 在规则网格上的应用
我们从（稍作修改的）文档示例开始。
>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from scipy.interpolate import interp2d, RectBivariateSpline>>> x = np.arange(-5.01, 5.01, 0.25)
>>> y = np.arange(-5.01, 7.51, 0.25)
>>> xx, yy = np.meshgrid(x, y)
>>> z = np.sin(xx**2 + 2.*yy**2)
>>> f = interp2d(x, y, z, kind='cubic')
这是“规则网格”代码路径，因为
>>> z.size == len(x) * len(y)
True
另外，注意 x.size != y.size：
>>> x.size, y.size
(41, 51)
现在，我们构建一个方便的函数来构造插值器并绘制它。
>>> def plot(f, xnew, ynew):
... fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(8, 4))
... znew = f(xnew, ynew)
... ax1.plot(x, z[0, :], 'ro-', xnew, znew[0, :], 'b-')
... im = ax2.imshow(znew)
... plt.colorbar(im, ax=ax2)
... plt.show()
... return znew
...
>>> xnew = np.arange(-5.01, 5.01, 1e-2)
>>> ynew = np.arange(-5.01, 7.51, 1e-2)
>>> znew_i = plot(f, xnew, ynew)
替代方法：使用 RectBivariateSpline，结果完全一致
注意转置：首先，在构造函数中，其次，你需要转置评估的结果。这是为了撤销 interp2d 所做的转置。
>>> r = RectBivariateSpline(x, y, z.T)
>>> rt = lambda xnew, ynew: r(xnew, ynew).T
>>> znew_r = plot(rt, xnew, ynew)
>>> from numpy.testing import assert_allclose
>>> assert_allclose(znew_i, znew_r, atol=1e-14)
插值阶数：线性、三次等
interp2d 默认为 kind="linear"，即在 x- 和 y- 两个方向上均为线性。
RectBivariateSpline 则默认为三次插值，kx=3, ky=3。
以下是精确的等价关系：
interp2d | RectBivariateSpline |
|---|---|
| 无关键字参数 | kx = 1, ky = 1 |
kind='linear' | kx = 1, ky = 1 |
kind='cubic' | kx = 3, ky = 3 |
1.2 interp2d 与点的完整坐标（散乱插值）
这里，我们将上一练习中的网格数组展平，以说明其功能。
>>> xxr = xx.ravel()
>>> yyr = yy.ravel()
>>> zzr = z.ravel()
>>> f = interp2d(xxr, yyr, zzr, kind='cubic')
注意，这是“非规则网格”代码路径，用于散乱数据，满足 len(x) == len(y) == len(z)。
>>> len(xxr) == len(yyr) == len(zzr)
True
>>> xnew = np.arange(-5.01, 5.01, 1e-2)
>>> ynew = np.arange(-5.01, 7.51, 1e-2)
>>> znew_i = plot(f, xnew, ynew)
替代方法：直接使用 scipy.interpolate.bisplrep / scipy.interpolate.bisplev
>>> from scipy.interpolate import bisplrep, bisplev
>>> tck = bisplrep(xxr, yyr, zzr, kx=3, ky=3, s=0)
# 为了方便起见：从 bisplev 构造一个可调用的函数
>>> ff = lambda xnew, ynew: bisplev(xnew, ynew, tck).T # 注意转置，以模仿 interp2d 的行为
>>> znew_b = plot(ff, xnew, ynew)
>>> assert_allclose(znew_i, znew_b, atol=1e-15)
插值阶数：线性、三次等
interp2d 默认为 kind="linear"，即在 x- 和 y- 两个方向上均为线性。
bisplrep 则默认为三次插值，kx=3, ky=3。
以下是精确的等价关系：
interp2d | bisplrep |
|---|---|
| 无关键字参数 | kx = 1, ky = 1 |
kind='linear' | kx = 1, ky = 1 |
kind='cubic' | kx = 3, ky = 3 |
2. interp2d 的替代方法：规则网格
对于新代码，推荐的替代方法是 RegularGridInterpolator。它是一个独立的实现，不基于 FITPACK。支持最近邻、线性插值以及奇数阶张量积样条。
样条节点保证与数据点重合。
注意，这里：
- 元组参数为
(x, y) z数组需要转置- 关键字名称为 method，而不是 kind
bounds_error参数默认为True
>>> from scipy.interpolate import RegularGridInterpolator as RGI
>>> r = RGI((x, y), z.T, method='linear', bounds_error=False)
评估：创建一个二维网格数组。使用 indexing='ij' 和 sparse=True 以节省一些内存：
>>> xxnew, yynew = np.meshgrid(xnew, ynew, indexing='ij', sparse=True)
评估，注意元组参数：
>>> znew_reggrid = r((xxnew, yynew))
>>> fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(8, 4))
# 再次注意转置，以撤销 `interp2d` 的约定
>>> znew_reggrid_t = znew_reggrid.T
>>> ax1.plot(x, z[0, :], 'ro-', xnew, znew_reggrid_t[0, :], 'b-')
>>> im = ax2.imshow(znew_reggrid_t)
>>> plt.colorbar(im, ax=ax2)
3. 散乱二维线性插值：优先选择 LinearNDInterpolator 而非 SmoothBivariateSpline 或 bisplrep
对于二维散乱线性插值，SmoothBivariateSpline 和 biplrep 可能会发出警告，或者无法插值数据，或者产生远离数据点的样条节点。相反，优先选择 LinearNDInterpolator，它基于 QHull 的数据三角剖分。
# TestSmoothBivariateSpline::test_integral
>>> from scipy.interpolate import SmoothBivariateSpline, LinearNDInterpolator
>>> x = np.array([1,1,1,2,2,2,4,4,4])
>>> y = np.array([1,2,3,1,2,3,1,2,3])
>>> z = np.array([0,7,8,3,4,7,1,3,4])
现在，使用基于 Qhull 数据三角剖分的线性插值：
>>> xy = np.c_[x, y] # 或者直接使用 list(zip(x, y))
>>> lut2 = LinearNDInterpolator(xy, z)
>>> X = np.linspace(min(x), max(x))
>>> Y = np.linspace(min(y), max(y))
>>> X, Y = np.meshgrid(X, Y)
结果易于理解和解释：
>>> fig = plt.figure()
>>> ax = fig.add_subplot(projection='3d')
>>> ax.plot_wireframe(X, Y, lut2(X, Y))
>>> ax.scatter(x, y, z, 'o', color='k', s=48)
注意，bisplrep 的行为是不同的！它可能会将样条节点放置在数据之外。
为了说明，考虑上一个示例中的相同数据：
>>> tck = bisplrep(x, y, z, kx=1, ky=1, s=0)
>>> fig = plt.figure()
>>> ax = fig.add_subplot(projection='3d')
>>> xx = np.linspace(min(x), max(x))
>>> yy = np.linspace(min(y), max(y))
>>> X, Y = np.meshgrid(xx, yy)
>>> Z = bisplev(xx, yy, tck)
>>> Z = Z.reshape(*X.shape).T
>>> ax.plot_wireframe(X, Y, Z, rstride=2, cstride=2)
>>> ax.scatter(x, y, z, 'o', color='k', s=48)
同样，SmoothBivariateSpline 无法插值数据。再次使用上一个示例中的相同数据。
>>> lut = SmoothBivariateSpline(x, y, z, kx=1, ky=1, s=0)
>>> fig = plt.figure()
>>> ax = fig.add_subplot(projection='3d')
>>> xx = np.linspace(min(x), max(x))
>>> yy = np.linspace(min(y), max(y))
>>> X, Y = np.meshgrid(xx, yy)
>>> ax.plot_wireframe(X, Y, lut(xx, yy).T, rstride=4, cstride=4)
>>> ax.scatter(x, y, z, 'o', color='k', s=48)
注意，SmoothBivariateSpline 和 bisplrep 的结果都存在伪影，与 LinearNDInterpolator 的结果不同。这里说明的问题是针对线性插值的，但 FITPACK 的节点选择机制并不能保证在更高阶（例如三次）样条曲面上避免这些问题。
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