《高等数学》（同济大学·第7版）第三章第六节函数图形的描绘

一、图形描绘的完整步骤（重点记忆）

第一步：确定函数的"基本属性"

1. 定义域：找出函数有意义的x范围
   • 例：f(x)=ln(x) → (0,+∞)
2. 奇偶性：
   • 奇函数：f(-x)=-f(x) → 关于原点对称
   • 偶函数：f(-x)=f(x) → 关于y轴对称
3. 周期性：
   • 三角函数判断周期T
   • 例：sin(2x)的周期是π

第二步：分析函数的"关键特征点"

1. 截距：
   • y截距：f(0)的值
   • x截距：解f(x)=0
2. 渐近线（三大类）：
   • 水平渐近线：lim(x→∞)f(x)=A → y=A
   • 垂直渐近线：lim(x→a)f(x)=∞ → x=a
   • 斜渐近线：y=kx+b（k=lim[f(x)/x]，b=lim[f(x)-kx]）

第三步：利用导数分析"变化特征"

1. 单调性：
   • f’(x)>0 → 函数上升
   • f’(x)<0 → 函数下降
2. 极值点：
   • f’(x₀)=0且变号 → 极值点
3. 凹凸性：
   • f’'(x)>0 → 凹函数（∪形）
   • f’'(x)<0 → 凸函数（∩形）
4. 拐点：
   • f’'(x)变号的点

二、详细例题演示（重点理解）

例题1：描绘f(x)=(x²-1)/(x²-4)的图像

第一步：基本属性分析

1. 定义域：x²-4≠0 → x≠±2
2. 奇偶性：
   f(-x)=[(-x)²-1]/[(-x)²-4]=(x²-1)/(x²-4)=f(x) → 偶函数
3. 周期性：非周期函数

第二步：关键点与渐近线

1. 截距：
   • y截距：f(0)=(-1)/(-4)=1/4
   • x截距：x²-1=0 → x=±1
2. 渐近线：
   • 垂直渐近线：x²-4=0 → x=±2
   • 水平渐近线：
     lim(x→∞)(x²-1)/(x²-4)=1 → y=1
   • 斜渐近线：无（因已有水平渐近线）

第三步：导数分析

1. 求导：
   f’(x)=[2x(x²-4)-(x²-1)2x]/(x²-4)²=-6x/(x²-4)²
2. 单调性：
   • x∈(-∞,-2)：f’(+)>0 ↗
   • x∈(-2,0)：f’(+)>0 ↗
   • x∈(0,2)：f’(-)<0 ↘
   • x∈(2,+∞)：f’(-)<0 ↘
3. 极值点：
   f’(0)=0且在x=0左侧↗右侧↘ → x=0是极大值点
   f(0)=1/4
4. 凹凸性与拐点：
   f’'(x)=(18x²+24)/(x²-4)³
   • x∈(-∞,-2)：分母<0，分子>0 → f’'(-)<0 ∩形
   • x∈(-2,2)：分母<0，分子>0 → f’'(-)<0 ∩形
   • x∈(2,+∞)：分母>0，分子>0 → f’'(+)>0 ∪形
   • 无拐点（f’'(x)无变号点）

最终图像特征：

1. 对称于y轴
2. 通过(0,1/4)、(±1,0)
3. 在x=±2处有垂直渐近线
4. 整体呈"M"形（先升后降）

三、特殊函数图像处理技巧

1. 分段函数的绘制要点

• 特别注意分段点的连续性、可导性
• 例：f(x)=|x|在x=0处连续但不可导

2. 含绝对值的函数

• 先去掉绝对值符号分段讨论
• 例：f(x)=|x²-1| → 分x∈[-1,1]和x∉[-1,1]两种情况

3. 参数方程的函数

• 消参数或分别分析x(t),y(t)的变化
• 例：摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost)

四、常见错误警示

错误类型	正确做法
忽略定义域限制	先求定义域再分析其他特征
混淆极值点与拐点	极值点是一阶导数为0，拐点是二阶导数为0
漏判渐近线	必须检查x→∞和x→间断点处的极限
错误判断凹凸性	用二阶导数符号判断更可靠

一、在人工智能（AI）中的应用

1. 损失函数可视化（模型训练核心）
   ​应用场景​：监控神经网络训练过程

​绘制内容​：损失函数随迭代次数的变化曲线
​关键特征分析​：

下降趋势：判断学习率是否合适
震荡幅度：反映梯度更新的稳定性
平台期：可能遇到局部极小值或鞍点
陡降阶段：模型快速学习特征
平缓阶段：接近收敛需调整学习率
2. 决策边界可视化（分类问题）
​数学原理​：绘制f(x₁,x₂)=0的等高线

3. 激活函数分析
   ​关键图形特征​：

Sigmoid函数：S形曲线，值域(0,1)
ReLU函数：折线形，负半轴恒为0
通过图形理解梯度消失/爆炸问题

二、在量化金融中的应用

1. 价格走势技术分析
   ​图形描绘要素​：
   ​支撑/阻力线​：寻找价格反复测试的极值点
   数学本质：局部最大值/最小值构成的水平线
   ​趋势线​：连接价格极值点的直线
   上升趋势：低点连线斜率>0
   下降趋势：高点连线斜率<0

2. 波动率曲面建模（期权定价）
   ​三维图形描绘​：

x轴：行权价
y轴：到期时间
z轴：隐含波动率
分析曲面凹凸性判断市场预期
​关键特征​：

“微笑曲线”：虚值/实值期权波动率升高
“斜偏”：看涨/看跌期权波动率不对称
3. 风险价值（VaR）分布图
​绘制步骤​：

计算投资组合收益率的概率密度函数
标记左侧5%分位点（95% VaR）
分析分布尾部厚度

尖峰厚尾分布需特别关注极端风险

三、交叉领域深度应用案例
案例1：生成对抗网络（GAN）的训练监控
​判别器/生成器损失曲线​：理想状态应保持动态平衡
​模式崩溃检测​：损失曲线突然塌陷时可能出现
案例2：投资组合有效前沿
​图形绘制​：

计算不同权重组合的预期收益和波动率
绘制收益-风险散点图
标记帕累托最优边界
​数学基础​：

边界线是二次规划问题的解集
拐点对应市场风险溢价变化
案例3：高频交易订单簿动态
​三维曲面图​：

x轴：价格档位
y轴：时间序列
z轴：订单深度
分析极值点捕捉流动性变化

四、核心数学工具对照表
图形特征 AI应用场景 量化应用场景 数学分析方法
极值点 损失函数最小值 支撑/阻力位 导数等于零+二阶导数判别
凹凸性 优化算法收敛性 波动率曲面曲率 Hessian矩阵正定性
渐近线 模型性能上限 长期均衡价格 极限计算
拐点 学习率调整时机 市场趋势反转点 三阶导数变号
周期性 循环神经网络训练 季节性交易策略 傅里叶分析
五、前沿应用方向
​拓扑数据分析​：
通过图形形状识别数据特征
应用：异常交易检测
​流形学习可视化​：
t-SNE降维后的特征分布
用于高维金融数据聚类
​神经微分方程​：
连续深度模型的动力学可视化
用于时间序列预测