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Σ∆ 数字滤波

news 来源：原创 2025/6/9 5:46:59

ΣΔ（Sigma-Delta，中文常译为“Σ-Δ”或“Σ-Δ调制”）数字滤波，是基于ΣΔ调制器（Sigma-Delta Modulator）原理发展出来的一种数字信号处理技术，广泛应用于高精度ADC（模数转换器）或DAC（数模转换器）中。它结合了噪声整形和过采样的思想，能在较低成本下实现高分辨率的信号转换。

一、ΣΔ调制简介

基本原理：

Σ（积分器）：累加输入信号，使其频谱中的低频部分放大；
Δ（差分器）：取当前信号与量化后的信号差值形成负反馈；
量化器：通常是1-bit或低位数ADC；
噪声整形：量化误差被推移到高频部分。

特点：

把量化噪声从低频“推”到高频；
高频噪声在后续可以通过低通滤波器有效滤除；
特别适用于音频、传感器、仪器采集等高精度信号处理。

二、ΣΔ 数字滤波常用结构

ΣΔ调制器之后，必须接数字低通滤波器，起到：

把有用信号频段保留下来；
滤除高频的量化噪声；
实现抽取（降采样）操作。

常见的数字滤波结构：

CIC滤波器（Cascaded Integrator-Comb）：
- 结构简单，仅由加法器和延迟单元组成；
- 不需要乘法器，适合FPGA、DSP硬件实现；
- 常用于ΣΔ调制器后的第一层滤波+降采样。
FIR滤波器（有限冲击响应）：
- 精度高，可设计出理想响应；
- 适用于进一步细化频率选择性；
- 通常放在CIC滤波器之后作为“修正”滤波器。

三、ΣΔ数字滤波系统框图

模拟输入│
[ ΣΔ调制器 ] → 1-bit高速数据流│
[CIC滤波器] → 降采样 + 初级低通│
[FIR滤波器] → 滤除剩余高频噪声│
数字输出（低速、高分辨率）

四、应用场景

音频采集与播放（如24-bit音频DAC）
工业传感器（如压力、温度等）
医疗设备（ECG、EEG 等信号采集）
精密仪器（如示波器、数据采集卡）

🧠 示例目标：

模拟一个低频信号（如正弦波），经过一阶 ΣΔ 调制器，再经过一个简单的 CIC 滤波器和降采样，最后输出数字信号。

🧩 C 语言示例代码

#include <stdio.h>
#include <math.h>#define PI 3.14159265358979323846
#define SAMPLE_RATE  100000   // 原始过采样率（100kHz）
#define DECIMATION   100      // 抽取比
#define OUTPUT_RATE  (SAMPLE_RATE / DECIMATION)
#define INPUT_FREQ   1000     // 输入信号频率#define DURATION_SEC 1
#define TOTAL_SAMPLES (SAMPLE_RATE * DURATION_SEC)// --- ΣΔ调制器状态变量 ---
double integrator = 0.0;
double quantizer_out = 0.0;// --- CIC滤波器状态变量 ---
long cic_integrator = 0;
long cic_comb = 0;
long last_comb_input = 0;// --- 一阶Sigma-Delta调制器 ---
int sigma_delta_modulate(double input)
{integrator += input - quantizer_out;quantizer_out = (integrator >= 0) ? 1.0 : -1.0;return (quantizer_out > 0) ? 1 : 0;  // 输出1或0
}// --- 简单的CIC滤波器（积分器+微分器） ---
long cic_filter(int bit)
{// 积分器cic_integrator += (bit ? 1 : -1); // 1-bit输入转为±1// 每 DECIMATION 次，进行一次抽取 + 微分器static int count = 0;count++;if (count >= DECIMATION) {count = 0;long out = cic_integrator - last_comb_input;last_comb_input = cic_integrator;return out;}return 0x7FFFFFFF;  // 标志：不是有效输出
}int main(void)
{for (int i = 0; i < TOTAL_SAMPLES; i++) {double t = (double)i / SAMPLE_RATE;double input_signal = 0.5 * sin(2 * PI * INPUT_FREQ * t);  // 模拟输入信号，振幅 -0.5~0.5int bit_out = sigma_delta_modulate(input_signal);long filtered = cic_filter(bit_out);if (filtered != 0x7FFFFFFF) {// 打印降采样后的输出printf("%ld\n", filtered);}}return 0;
}