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计算机组成与体系结构：补码数制二（Complementary Number Systems）

news 来源：原创 2025/6/8 7:46:47

4位二进制的减法

补码系统

🧠减基补码

名字解释：

减基补码有什么用？

计算方法

❓为什么这样就能计算减基补码

💡 原理揭示：按位减法，模拟总减法！

那对于二进制呢？（b = 2）

🧠 基补码

名字解释：

计算方法

❓ 为什么用基补码就可以实现减法运算？

什么是模 b^n 运算？

回顾逻辑链条

完整比较表：减基补码 vs 基补码

4位二进制的减法

我们用这个4位二进制的减法例子：

A = 1000（即十进制的 8）

B = 0001（即十进制的 1）

我们希望计算：A - B = 1000 - 0001 = ？

借位时：

从左边借一个 1，即从第二位借变成 1 → 0
当前位变成 2（二进制中的 10）

上面的减法需要手动借位，非常繁琐，而且不适合电路实现。为了解决这个问题，引入了补码数制，使减法变成加法。

补码系统

对于任意进制为 b 的数字系统，存在两种常用的补码定义，用来表示负数、简化减法：

(b−1)’s complement（减基补码）：用于模拟借位操作
b’s complement（基补码）：常用于计算机系统，能将减法直接变为加法

在任意进制 b 中，对一个非负数 N 的补码，我们关心的是：

怎么用某个“补”的方式，表示 “−N”，从而让：

这和二进制补码的思想完全一致，但现在是推广到任意进制 b。

🧠减基补码

（中文：减基补码 / 英文：Diminished Radix Complement）

名字解释：

“b”：表示进制（base），比如十进制是 10，二进制是 2
“b−1”：是进制的最大一位数字
- 十进制里是 9
- 二进制里是 1
“complement”：英文意思是“补码”或“补数”，意思是某种“差值”

所以你可以理解为：

减基补码，就是“对每一位，求它距离最大位值（b−1）的差”

这就是“按位取反”的来源。

所以：

对于任意进制为 b 的数字系统，给定一个 n 位非负数 N，它的减基补码是：

换句话说：

我们在“最大可能的数值”上（即 b^n - 1）减去当前数
或者更直观地说：

将每一位数字都用 (b−1) 减去它自己

减基补码有什么用？

它主要用于：将减法转化为加法

我们可以这样写：

比如：

73 - 25 可以用补码方式计算为：

最后结果取最后两位：48 ✅

（这个“只保留低位”在计算机中称为模运算）

计算方法

确定当前进制 b，以及数的位数 n
将每一位数字用 b−1减去它
得到的新数就是减基补码

✴️ 例子：十进制（b = 10）

我们来求 372 的 9’s complement

因为 10 − 1 = 9，所以是 9's complement

步骤：

原数：3 7 2
每位做：9 - 3 = 6, 9 - 7 = 2, 9 - 2 = 7
结果：627

❓为什么这样就能计算减基补码

补码（complement）的目的是：

让我们在“不会借位”的前提下完成减法
也就是说：我们希望能把减法 A − B，变成 A + 某个东西，而这个“某个东西”要能代表“负的 B”。

怎么代表 “负的 B”？

假设我们工作在一个固定长度的进制系统中：比如在十进制里，用 3 位数 ⇒ 最大值是 999

所以，整个空间就是从 000 到 999

在这种情况下： - B = 1000 - B

这是 “基补码” b’s complement = b^n - B （后面会提到）

那么：

核心公式解释：

给你一个 3 位数 B = 372，我们想知道怎么快速得到：

999 - 372 = ?

是不是需要手动减法？太麻烦了！

有没有一种快速的方法呢？有的！

💡 原理揭示：按位减法，模拟总减法！

来看看：

原数位	3	7	2
减去	9	9	9
得到	6	2	7

你有没有发现？

我们是把 999 - 372，拆成了逐位相减的操作
即：(9 - 3)(9 - 7)(9 - 2) = 627

那我们为什么可以这样逐位减？

我们再来深入看一下：

这是减基补码的核心定义：

✅ “(b^n - 1) − N” 是什么？

它是一个固定数（最大值）减去当前值
我们从数学角度知道：

总差值 = 每位差值之和（如果没有进位或借位）

那我们就直接把每一位单独处理，从高位到低位，做：

b−1 - 当前位数字

这个方法就能快速等价于“总值减当前数”。

这就是我们所谓的：

把每一位都用最大可能的数减去它自己，省略了进位借位的麻烦。

那对于二进制呢？（b = 2）

最大每位就是 1
所以：1 - 当前位 就是“取反”：

原数	0101
取反	1010

所以：

在二进制里，(b−1)'s complement 就是“反码（Ones’ Complement）”

减基补码的缺点

问题	说明
有两个“零”	`000...0` 表示 `+0`，但 `999...9`（或 `111...1`）表示 `-0` ❌
需要手动加1	加法后还要再加1，麻烦
不如 b’s complement（基补码）方便	b’s complement 是在它基础上改进的，更常用

🧠 基补码

b’s complement，中文叫“基补码”，英文全称是 Radix Complement，

是一种用于减法运算或表示负数的编码方式，适用于任何进制 b。

名字解释：

部分	含义
b	表示“进制”（base），例如：十进制 b=10，二进制 b=2
complement	英文中意为“补码”、“补数”
Radix Complement	“radix” 就是“进制”的正式英文术语，直译就是“进制的补数”

给定一个 n 位的正整数 N，它的基补码是：

也可以理解为：

先求减基补码（(b−1)’s complement），然后再加 1：

计算方法

步骤1：确认进制 b 和位数 n

（比如十进制 3 位，最大值就是 b^n = 1000）

步骤2：用公式 b^n - N

✴️ 例子：二进制（b = 2）

求 0101（十进制 5）的 2’s complement（也就是我们熟悉的补码）

先按位取反（就是 1’s complement）：

0101 → 1010

再加 1：

1010 + 1 = 1011

✅ 所以：

2’s complement of 0101 = 1011

这就是我们熟悉的“取反 + 加 1”，它其实就是 2’s complement。

❓ 为什么用基补码就可以实现减法运算？

设定场景：我们处在一个有限数字空间里

我们假设一个固定长度为 n 位的数字系统，进制为 b。

总共能表示的数有：

0 到 b^n - 1 （比如：3 位十进制是 000 到 999）

在这种系统下，所有加法、减法，其实都发生在一个“圈”里。这在数学中叫作模 b^n 算术（modulo arithmetic）。

什么是模 b^n 运算？

任何计算超出这个范围，就“回绕”回来。

就像时钟是模 12 的系统：

同理，十进制 3 位系统是模 1000 的系统：

我们希望把 A − B 变成 A + something

我们的问题是：

如何让 A − B，变成 A + ???？

用模运算思维，我们知道：

因为：

这就是我们最核心的逻辑：

在模 b^n 意义下，负数 −B 可以表示成 b^n - B

所以你只要：

不直接做 A − B
而是把 B 换成 b’s complement（即 b^n - B），再和 A 相加
最后把结果取模（保留低 n 位）

你就等价于完成了 A − B 的操作！

举个完整例子说明

用十进制，3 位（即模 1000）

设：

A = 100
B = 25
A − B = 75（目标）

我们来用 b’s complement 做：

b’s complement of 25 = 1000 − 25 = 975
A + 975 = 100 + 975 = 1075
1075 mod 1000 = 75 ✅

完全等价！

回顾逻辑链条

我们想把减法变成加法，是因为计算机更容易做加法（电路简单）
所以要找到一种方式，把 “-B” 表示成一个“加数”
在模 b^n 的世界里：
所以：
而 b^n - B 就是 b’s complement of B
所以，我们通过补码的方式，就能完成减法！

完整比较表：减基补码 vs 基补码

项目	(b−1)’s Complement（减基补码）	b’s Complement（基补码）
英文术语	Diminished Radix Complement	Radix Complement
表达式	(b^n - 1) - N	b^n - N
本质意义	每位用 (b−1) 减去原位数	在 (b−1)’s complement 基础上再加 1
是否等价于负数 −N（模意义）	否，除非尾进位补偿	✅ 是
是否适应进位（carry）	❌ 不能直接使用，需要“尾进位回加”	✅ 自动处理进位
减法实现方式	A + (b−1)’s complement(B) + 1，或加后尾加进位	A + b’s complement(B)，直接做
是否容易硬件实现	❌ 难（因需判断进位）	✅ 易（适合加法器）
是否存在两个“0”	✅ 有：0000 和 9999（或 1111）	❌ 只有一个“0”
二进制特例	1’s complement（反码）	2’s complement（补码）
是否常用于现代计算机	❌ 否（仅历史背景）	✅ 是（普遍使用）
易读性	✅ 简单按位减	❌ 稍复杂，需要加1