数学复习笔记 25

今天能把第五章学完。加油。今年是最好上岸的一年。

5.23：全是单根，笑死，居然难受了。我现在每个题，都要总结。总结。总结实际上也总结不出啥东西。但是我一定要总结。主动让自己思考一下。老师的思路很清奇。他认为考的稀松平常，我们学习的技巧性的东西发挥不出来，就有点稀松平常了，和别人拉不开差距了。这题就是从特征向量出发算特征值，解出来一些参数，然后继续算特征值和特征向量。然后就可以了。果然章节名字是有道理的，特征值，灵魂就是特征值和特征向量。绕来绕去就是包装了一下，本质就是考特征值和特征向量，就像前面考秩和行列式。实对称矩阵不同特征值对应的特征向量是天然正交的。单位化是把原来的向量的每个元素，平方，求和，开根号，把每个元素除以这个根号。

考点 3 ：两个矩阵相似，特征值相等，行列式，迹，秩，特征行列式，都相等。看了一圈，感觉最重要的就是初试尽可能考一个高的分数，这样就稳了。初试非常非常高，就稳了，关键问题就是自己能否考到一个非常非常高的分数。这就是我现在努力的原因。相似的传递性，两个矩阵，先算特征值，特征值是否相等，相等就算能否相似对角化。

5.24：上三角、下三角和对角矩阵的特征值都是主对角线上面的元素。看能否相似对角化，就是看特征矩阵的秩，是多少，k 重特征值是否有 k 个线性无关的特征向量。特征向量的个数就是 $s=n-r(\lambda E-A)$ ，假设特征矩阵直接就是满秩，那就是直接可以相似对角化的。

考点 4 ：后面的内容是非常关键的知识点。 行向量乘以列向量是一个数字。列向量乘以行向量是一个矩阵。矩阵的迹就是前面算出来的数字。关键还是复盘。看最后学习的东西有没有消化吸收，内化为自己的东西。现在还剩一节课就跟上这个进度了。最新的一次课是明天晚上。

5.1：这题比较简单，就是把特征值和特征向量的定义式写出来，算一个矩阵乘法，就可以了。几个参数都可以算出来。也就是说，已知原来的矩阵，知道特征向量，可以算特征值。

考点 1 ：特征值和特征向量的概念，特征向量一定是非零的。

5.2：学着学着突然不想学了，突然想玩，然后玩的时候也不是很尽兴，没啥意思。真的想尽力一次。这题主要是一个经验，就是矩阵的和是一个固定数，或者实际上就是前面的那种行和相等的类型，前面算行列式是全部加到第一列，然后提出去，然后用第一行进行高斯消元，这里是直接注意到 1 1 1 的转置得到的列向量是特征向量，行和是特征值，这个观察到了就非常显然，但是没观察到就没办法了，可能这就是考研数学的难点，经验不足，然后灵活度不够临时观察不出来，就像老师说的，也没啥，就是写不出这个题呗。别整理知识点了，直接刷题就完事了。另外感觉可以多睡觉。可以午睡一次，然后晚饭之后再睡一次，多睡觉才能保持精神，晚上也睡八个小时。养精蓄锐。

回顾：特征值和特征向量的计算是基础。相似对角化，本质上也是求特征值和特征向量。5 6 章可能考 12 + 5 + 5 ，考 20 分左右的分数。总共是 32 分的分数。和高数一样，都是越到后面越重要。 总的来说就是没啥难的。相信别人，更要一百倍地相信自己。正交化的操作实际上非常简单，就是先算出来一个特征向量，假设是重根，那么用正交内积为零，还有原来的行最简的特征矩阵，可以解出来剩下的特征向量，这样可以得到两个正交的向量。判断两个矩阵是否相似，就是看特征值，特征值完全相等，判断矩阵能否相似对角化，均可以相似对角化，那么两个矩阵相似，一个可以相似对角化，一个不相似对角化，那么两个矩阵一定不相似，都不可以相似对角化，无法判断。果然还是要多多回顾。

考点 4 ：秩为一的矩阵。一个向量不额外说明，一般表示的是列向量。

判断能否相似对角化：判断是否是对称矩阵，判断是否是秩为 1 的矩阵，求特征值，单根和重根。比较重要，可能还需要一个题来检验一下。我现在感觉心里有点不踏实。

某个矩阵可以相似对角化的时候，非零特征值的个数，等于该矩阵的秩。

对称阵是转置之后和原来的方阵是一致的。对称阵一定可以相似对角化。

考点 1 ：二次型的定义，就是变量只乘了两次，不出现一次，不出现零次，不出现三次。这个函数每个式子都是二次的，二次型就是二次齐次函数。准备就做好周洋鑫的这套资料，然后强化结束之后就开始刷套卷，刷 150 套卷子。可以认为强化之前，都是在沉淀，开始刷套卷，就像朱昊鲲说的，疾风刷套卷。二次型从矩阵的角度来看，本质上是一个数字，或者是一个 1 * 1 的矩阵。

考点 2 ：二次型的矩阵表示，可以把一个二次型，拆开，变成行向量乘以矩阵，乘以列向量。自变量的行向量和列向量。二次型的矩阵的表达有很多种情况。感觉就是要把一本书从头刷到尾，然后再从尾刷到前面，再从前面刷到后面。反复刷一本书，感觉更有效果。第六章一般都是对称阵。感觉不能换来换去，精力很容易涣散。一般型对应对称阵，标准型对应对角阵。

考点 3：感觉这个部分非常有挑战性。

考点 4：矩阵合同。矩阵合同实际上和矩阵相似的定义非常像，就是把逆矩阵换成了转置阵。奥，还要求这个转置阵可逆。要求比较严格。两个矩阵是合同的，两个矩阵的秩是相等的。

考点 5：线性变换。缺的是重复和遍数。行列式不为零，矩阵就是可逆的。可逆矩阵乘以任何矩阵，原来的矩阵是不变秩的。相当于进行了一些行变换。

6.3： 这题的关键是判断变换矩阵是否是可逆的。假设是不可逆的，那么就推不出合同。不可逆的线性变换，是考研中的坑。算二次型的秩，就是算二次型对应矩阵的秩，对应矩阵是除了前面的行向量，后面的列向量，夹在中间的那个矩阵。

考点 6：线性变换为标准型。首先是正交变换。有点没跟上。蒙了直接。本质上就是算特征值和特征向量，然后就结束了。非常简单。

6.4：把二次型的对应的对称阵表示出来，然后把一些基础的东西列一下，可以把参数算出来。 算特征值和特征向量非常简单。奥，这里要求特征向量是正交的。算公共解，本质上是联立方程，算齐次方程的解。但是这里为啥还需要单位化，奥，正交需要正交，也需要单位化。所以关键还是计算，只要计算不出错，就没啥难度呢。这里是一环套一环的。