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线性动态规划

news 来源：原创 2025/6/5 14:02:54

具有「线性」阶段划分的动态规划方法统称为线性动态规划（简称为「线性 DP」），如下图所示。

一、概念

如果状态包含多个维度，但是每个维度上都是线性划分的阶段，也属于线性 DP。比如背包问题、区间 DP、数位 DP 等都属于线性 DP。

线性 DP 问题的划分方法有多种方式。

如果按照「状态的维度数」进行分类，我们可以将线性 DP 问题分为：一维线性 DP 问题、二维线性 DP 问题，以及多维线性 DP 问题。
如果按照「问题的输入格式」进行分类，我们可以将线性 DP 问题分为：单串线性 DP 问题、双串线性 DP 问题、矩阵线性 DP 问题，以及无串线性 DP 问题。

二、单串线性 DP 问题

1. 问题

单串线性 DP 问题：问题的输入为单个数组或单个字符串的线性 DP 问题。状态一般可定义为 dp[i]，表示为：

「以数组中第 i个位置元素 nums[i]] 为结尾的子数组（nums[0]...nums[i]）」的相关解。
「以数组中第 i−1个位置元素 nums[i−1]为结尾的子数组（nums[0]...nums[i−1]）」的相关解。
「以数组中前 i个元素为子数组（nums[0]...nums[i−1]）」的相关解

这 3 种状态的定义区别在于相差一个元素 nums[i]。

第 1种状态：子数组的长度为 i+1，子数组长度不可为空；
第 2 种状态、第 3 种状态：这两种状态描述是相同的。子数组的长度为 i，子数组长度可为空。在 i=0时，方便用于表示空数组（以数组中前 0 个元素为子数组）

三、最长递增子序列

单串线性 DP 问题中最经典的问题就是「最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，简称 LIS）」。

1. 实战练习

给定一个整数数组 nums，找到其中最长严格递增子序列的长度

子序列：由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
1≤nums.length≤2500。
−10^4≤nums[i]≤10^4。

2. 代码

class Solution {// 定义长度最长递增子序列的方法lengthOfLIS(nums) {// 获取数组的长度const size = nums.length;// 创建并初始化动态规划数组，初始值为1const dp = new Array(size).fill(1);// 外层循环迭代每个元素for (let i = 0; i < size; i++) {// 内层循环迭代当前元素之前的元素for (let j = 0; j < i; j++) {// 如果当前元素大于之前的元素，可以将当前元素加入递增子序列if (nums[i] > nums[j]) {// 更新以当前元素结尾的递增子序列的长度dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);}}}// 返回动态规划数组中的最大值，即为最长递增子序列的长度return Math.max(...dp);}
}// 示例用法
const solution = new Solution();
// 输出最长递增子序列的长度
console.log(solution.lengthOfLIS([10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]));

四、最大子数组和

单串线性 DP 问题中除了子序列相关的线性 DP 问题，还有子数组相关的线性 DP 问题。

注意：

子序列：由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。
子数组：指的是数组中的一个连续子序列。

「子序列」与「子数组」都可以看做是原数组的一部分，而且都不会改变原来数组中元素的相对顺序。其区别在于数组元素是否要求连续。

1. 实战练习

给定一个整数数组 nums，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和

2. 代码

class Solution {maxSubArray(nums) {// 获取数组的长度const size = nums.length;// 创建并初始化动态规划数组，初始值为0const dp = new Array(size).fill(0);// 初始化动态规划数组的第一个元素dp[0] = nums[0];// 从数组的第二个元素开始遍历for (let i = 1; i < size; i++) {// 如果前一个元素的动态规划值小于0，说明不利于累积当前元素，直接以当前元素为起点重新计算if (dp[i - 1] < 0) {dp[i] = nums[i];} else {// 否则，累积当前元素，更新动态规划值dp[i] = dp[i - 1] + nums[i];}}// 返回动态规划数组中的最大值，即为最大子数组和return Math.max(...dp);}
}// 示例用法
const solution = new Solution();
// 输出最大子数组和
console.log(solution.maxSubArray([-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]));

五、最长的斐波那契子序列的长度

有一些单串线性 DP 问题在定义状态时需要考虑两个结束位置，只考虑一个结束位置的无法清楚描述问题。这时候我们就需要需要增加一个结束位置维度来定义状态

1. 实战练习

给定一个严格递增的正整数数组 arr，从数组 arr 中找出最长的斐波那契式的子序列的长度。如果不存斐波那契式的子序列，则返回 0。

2. 代码

class Solution {lenLongestFibSubseq(arr) {const size = arr.length;let ans = 0;// 枚举所有可能的前两个数for (let i = 0; i < size; i++) {for (let j = i + 1; j < size; j++) {let tempAns = 0;let tempI = i;let tempJ = j;let k = j + 1;// 在数组中搜索斐波那契子序列while (k < size) {// 如果当前三个数满足斐波那契关系if (arr[tempI] + arr[tempJ] === arr[k]) {tempAns += 1;tempI = tempJ;tempJ = k;}k += 1;}// 更新最大斐波那契子序列长度if (tempAns > ans) {ans = tempAns;}}}// 如果找到了斐波那契子序列，返回长度加上初始的两个数if (ans > 0) {return ans + 2;} else {return ans;}}
}// 示例用法
const solution = new Solution();
// 输出最长斐波那契子序列的长度
console.log(solution.lenLongestFibSubseq([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]));