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【分层图最短路迪氏堆优化最短路】B4165 [BCSP-X 2024 12 月初中组] 贸易|普及+

news 来源：原创 2025/6/5 18:34:05

本文涉及知识点

C++图论分层图最短路

B4165 [BCSP-X 2024 12 月初中组] 贸易

题目描述

这个世界上一共有 $n$ 个国家，这些国家之间经常有贸易往来，于是为了方便，有 $m$ 条道路连接这些国家，每条道路连接两个国家，使得这两个国家之间可以轻松进行往来。

有了这些道路之后，商人在国家之间会赚取到更多的利润，所以为了限制商人的财富，国家之间制定了一个规则。商人经过每条道路，需要上交这条路对应的过路费 $w_i$ ，商人从起点国家到达目的地国家时，会返还给他走的路径上的过路费最大的那条路的费用 $max w_i$ 减去过路费最小的那条路的费用 $min w_i$ 。

现在，有 $k$ 个商人要从一号国家出发，去各个国家进行贸易，你需要计算他们每个人如何走可以使得他自己的过路费最少，你只需要告诉他们每个人这个最小过路费即可。

输入格式

第一行三个整数 $n, m, k$ ，分别表示国家的个数，道路的数量和商人的数量。国家的编号由 1 到 $n$ 。

接下来 $m$ 行每行三个整数 $u_i, v_i, w_i$ ，表示有一条连接 $u_i$ 号国家和 $v_i$ 号国家的道路，其过路费为 $w_i$ 。

接下来 $k$ 行每行一个整数 $t_i$ ，表示每个商人的目的地国家编号。

输出格式

输出共 $k$ 行，一行一个整数 $c_i$ ，表示第 $i$ 名商人要到达目的地所需要的最小花费。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

输入输出样例 #2

输入 #2

输出 #2

说明/提示

样例解释 1

如上图。

对于路径 $\to 2$ ，花费为 $1 - 1 + 1 = 1$ ；
对于路径 $\to 3$ ，花费为 $1 + 2 - 2 + 1 = 2$ ；
对于路径 $\to 4$ ，花费为 $1 + 2 - 2 + 1 = 2$ ；
对于路径 $\to 5$ ，花费为 $1 + 2 + 4 - 4 + 1 = 4$ ；

数据范围

对于 $10\%$ 的数据， $\leq 10$ ；
对于 $30\%$ 的数据， $\leq 2 \times 10^3$ ；
对于另外 $20\%$ 的数据， $k = 1$ ；
对于另外 $10\%$ 的数据， $w_i$ 相同；
对于 $100\%$ 的数据， $\leq n \leq 2 \times 10^5, n - 1 \leq m \leq \min(\frac{n(n - 1)}{2}, 2 \times 10^5), 1 \leq k \leq n - 1, 0 \leq w_i \leq 10^9$ ，数据保证不存在重边和自环。

分层图最短路迪氏堆优化最短路

如果路径只有一条边，无减免。
如果路径有两条或更多的边。 $\iff$ 最长的边的权重为0, 最短的边权重乘以2的最短路 $\iff$ 任意边权重0，另外任意一边权重乘以2。
4层分层图，层内无向边，各层都等于原始图。
层间图都是有向图，跨层路径有三条：
一，0层到3层，权重和原始图相同。对应一条边的路径。注意：没有3层到0层的边。
二，0层到1层，1层到3层。前者权重0，后者权重乘以2。对应，先0边，后2边。
三，0层到2层，2层到3层。前者权重乘以2，后者权重0。对应，先2边，后0边。

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};typedef pair<long long, int> PAIRLLI;
class  CHeapDis
{
public:CHeapDis(int n, long long llEmpty = LLONG_MAX / 10) :m_llEmpty(llEmpty){m_vDis.assign(n, m_llEmpty);}void Cal(int start, const vector<vector<pair<int, int>>>& vNeiB){std::priority_queue<PAIRLLI, vector<PAIRLLI>, greater<PAIRLLI>> minHeap;minHeap.emplace(0, start);while (minHeap.size()){const long long llDist = minHeap.top().first;const int iCur = minHeap.top().second;minHeap.pop();if (m_llEmpty != m_vDis[iCur]){continue;}m_vDis[iCur] = llDist;for (const auto& it : vNeiB[iCur]){minHeap.emplace(llDist + it.second, it.first);}}}vector<long long> m_vDis;const long long m_llEmpty;
};
class Solution {
public:vector<long long> Ans(const int N, vector<tuple<int, int, int>>& edge, vector<int>& dest) {vector<vector<pair<int, int>>> neiBo(4 * N);CHeapDis dis(4 * N);for (auto [u, v, w] : edge) {u--, v--;//层次for (int i = 0; i < 4; i++) {neiBo[u + N * i].emplace_back(v + N * i, w);neiBo[v + N * i].emplace_back(u + N * i, w);}//0层到3层的图neiBo[u + N * 0].emplace_back(v + N * 3, w);neiBo[v + N * 0].emplace_back(u + N * 3, w);//0层到1层，1层到3层neiBo[u + N * 0].emplace_back(v + N * 1, 0);neiBo[v + N * 0].emplace_back(u + N * 1, 0);neiBo[u + N * 1].emplace_back(v + N * 3, w * 2);neiBo[v + N * 1].emplace_back(u + N * 3, w * 2);//0层到2层，2层到3层neiBo[u + N * 0].emplace_back(v + N * 2, w * 2);neiBo[v + N * 0].emplace_back(u + N * 2, w * 2);neiBo[u + N * 2].emplace_back(v + N * 3, 0);neiBo[v + N * 2].emplace_back(u + N * 3, 0);}dis.Cal(0, neiBo);vector<long long> ans;for (const auto& d : dest) {ans.emplace_back(dis.m_vDis[N * 3 + d - 1]);}return ans;}
};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;	int N, M, Q;cin >> N >> M >> Q;auto edge = Read<tuple<int, int, int>>(M);auto dest = Read<int>(Q);
#ifdef _DEBUG	printf("N=%d",N);Out(edge, ",edge=");Out(dest, ",dest=");//Out(edge, ",edge=");		/*Out(que, ",que=");*///Out(ab, ",ab=");//Out(par, "par=");//Out(que, "que=");//Out(B, "B=");
#endif // DEBUG	auto res = Solution().Ans(N,edge,dest);for (const auto& i : res){cout << i << "\n";}return 0;
};

单元测试

int N;vector<tuple<int, int, int>> edge;vector<int> dest;TEST_METHOD(TestMethod11){N = 5, edge = { {5,3,4},{2,1,1},{3,2,2},{2,4,2} }, dest = { 2,3,4,5 };			auto res = Solution().Ans(N, edge, dest);AssertV({ 1,2,2,4 }, res);}TEST_METHOD(TestMethod12){N = 6, edge = { {3,1,1},{3,6,2},{5,4,2},{4,2,2},{6,1,1},{5,2,1},{3,2,3},{1,5,4} }, dest ={ 2,3,4,5,6 };auto res = Solution().Ans(N, edge, dest);AssertV({2,1,4,3,1 }, res);}

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
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