学习记忆——数学篇——案例——代数——方程——一元二次方程

重点记忆法

$a{x}^2+bx+c=0$
整体可以由： 根 $⟹$ $△$ $⟹$ 求根公式$x_{1,2}$=$\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}$ $⟹$ 韦达定理$⟹$ 判断两根符号情况，即根多少由$△$判断，根需要求根公式，求根公式可推导韦达定理，韦达定理可判断两根符号情况。

1.根
$⟹$ 根的多少：$△$＞0，方程有两根，$x_{1,2}$=$\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}$，抛物线与x轴有两个交点 ；$△$＝0，方程有一根，$x$为$-\frac{b}{2a}$，抛物线与x轴有一个交点；$△$＜0，方程无根，抛物线与x轴没有交点；
$⟹$ 根的正负：两正根（$△\ge 0,x_1+x_2＞0,x_1{x}_2＞0$）；两负根（$△\ge 0,x_1+x_2＜0,x_1{x}_2＞0$）；异号根（$x_1{x}_2＜0$）
$⟹$ 根的区间：
$⟹$ 根与系数关系：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$。

2.$△$判别式
$⟹$ $b^2-4ac$
$⟹$ $△$＞0，方程有两根，$x_{1,2}$=$\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}$，抛物线与x轴有两个交点
$⟹$ $△$＝0，方程有一根，$x$为$-\frac{b}{2a}$，抛物线与x轴有一个交点
$⟹$ $△$＜0，方程无根，抛物线与x轴没有交点
$⟹$ $y$的最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$ ＝$\frac{－△}{4a}$
$⟹$ 弦长公式为$\frac{\sqrt{△}}{|a|}$
$⟹$ 顶点△面积为$\frac{(\sqrt{△}{)}^3}{8a^2}$

3.求根公式
$x_{1,2}$=$\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}$
$⟹$ 韦达定理为$x_1+x_2=\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}＋\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}=-\frac{b}{a}$
$⟹$ 韦达定理为$x_1\cdot x_2=\frac{-b＋\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ast \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a}$
$⟹$ 弦长公式为$|x_1-x_2|=|\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}|=\frac{\sqrt{△}}{|a|}$
$⟹$ 顶点△面积为$\frac{1}{2}\cdot |y|\cdot |x_1-x_2|=|\frac{－△}{4a}|\ast \frac{\sqrt{△}}{|a|}=\frac{(\sqrt{△}{)}^3}{8a^2}$

4.韦达定理：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$，$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$
$⟹$ 求出关于两个根的对称轮换式的数值
$⟹$ 判断两根符号情况
$⟹$ 一元三次方程$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$的韦达定理：$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$，$x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$，$x_1{x}_3+x_2{x}_3+x_1{x}_3=\frac{c}{a}$
$⟹$

理解记忆法

求根公式推导

https://www.bilibili.com/read/cv4538376/

韦达定理、弦长公式、顶点△面积推导

韦达定理由求根公式推导而来
$x_{1,2}$=$\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}$
$⟹$ 韦达定理为$x_1+x_2=\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}＋\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}=-\frac{b}{a}$
$⟹$ 韦达定理为$x_1\cdot x_2=\frac{-b＋\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ast \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a}$
$⟹$ 弦长公式为$|x_1-x_2|=|\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}|=\frac{\sqrt{△}}{|a|}$
$⟹$ 顶点△面积为$\frac{1}{2}\cdot |y|\cdot |x_1-x_2|=|\frac{－△}{4a}|\ast \frac{\sqrt{△}}{|a|}=\frac{(\sqrt{△}{)}^3}{8a^2}$

or

由韦达定理的结论和完全平方公式可推出：
$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$$=\frac{\sqrt{△}}{|a|}$

根的区间之理解

归类记忆法

根的分布问题：正负根问题和区间根问题

记忆宫殿法

谐音记忆法

快速秒杀法