∑ 1/n 调和级数 是 发散的

为什么 $\sum \frac{1}{u}$（即 $\sum \frac{1}{n}$，通常称为调和级数）是发散的？

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✅ 一、首先明确你问的是这个级数：

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$$

这个级数叫作调和级数（Harmonic Series）。它的每一项都趋近于 0，但整个级数仍然发散！

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✅ 二、调和级数发散的经典证明（对比法）

我们用一种简单的分组对比法来说明：

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}& =1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots \\ & >1+\frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4}+4\cdot \frac{1}{8}+\cdots \\ & =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots =\infty \end{array}$$

结论： 每一组的和都 ≥ $\frac{1}{2}$，不断累加会趋于无穷大，所以发散。

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✅ 三、常见误区：项趋近于 0 不代表级数收敛！

很多同学会说：

“它的每一项 $\frac{1}{n}\to 0$，为什么还会发散？”

❗注意：

• 这是级数学习中的最大陷阱之一。
• 级数是否收敛，不仅看项是否趋近于0，还要看它“趋近于0得多快”。
• 像 $\frac{1}{n^2}$、$\frac{1}{n^p}(p>1)$ 这样下降快的，才可能收敛。

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✅ 四、延伸：$\sum \frac{1}{n^p}$ 的收敛性

级数	是否收敛？
$\sum \frac{1}{n}$	❌ 发散
$\sum \frac{1}{n^2}$	✅ 收敛（著名的 $\frac{{\pi }^2}{6}$）
$\sum \frac{1}{n^{1.0001}}$	✅ 收敛
$\sum \frac{1}{n^{0.999}}$	❌ 发散

📌 总结：
若 $\sum \frac{1}{n^p}$，当且仅当 $p>1$ 时，才收敛。

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✅ 五、应用在考试中：

题型	是否能快速判断
$\sum \frac{1}{n}$	❌ 发散
$\sum \frac{1}{n^2}$	✅ 收敛
$\sum (-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$	✅ 收敛，但条件收敛
$\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$	❌ 发散

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✅ 六、总结

• $\sum \frac{1}{n}$ 是调和级数，发散，这是基础常识，要熟记。
• 每一项趋于0 ≠ 级数收敛，必须结合“下降速度”判断。
• 在考试中，看到类似 $\frac{1}{n^p}$ 形态，第一反应就是看 $p$ 是否大于1。

如你想了解它发散的积分法证明，或与交错调和级数的对比，我也可以继续讲。是否继续？