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雷达中实信号与复信号

news 来源：原创 2025/6/3 19:24:52

一、什么是实信号和复信号

实信号是指信号的时域取值在数学表示和物理实现中始终为实数的信号，其基本的表达式为： $s = x(t), \quad x(t) \in \mathbb{R}$ ；复信号是指时域取值在数学表示中始终为复数的信号，其基本的表达式为： $s = x_I(t) + j x_Q(t), \begin{cases} x_I(t) \in \mathbb{R} \\ x_Q(t) \in \mathbb{R} \end{cases}$ 。从实信号与复信号的定义可知，两者的根本区别是时域上表示的区别，且实信号是用于物理实现的、而复信号主要用于数学表示。而从频域上看，实信号的频谱是关于0点呈现共轭对称的，复信号的频谱则不具有该特性。

在实际雷达工程中，我们能够发射和接收的是实信号，如点频信号、线性调频信号等，这些信号在某一时刻上的幅度值是一个可量化的实数。但是在雷达发射之前和接收之后，我们在波形调制和信号处理的运算上常常利用实信号对应的复信号进行运算。也就是说，一个雷达的实信号 $y_s=x\left ( t \right )$ 可以找到唯一的一个复信号 $y_f=x_I\left ( t \right )+x_Q\left ( t \right )$ 与之对应。 $y_s=x\left ( t \right )$ 与 $y_f=x_I\left ( t \right )+x_Q\left ( t \right )$ 的关系是：时域上，复信号 $y_f$ 的实部 $x_I\left ( t \right )$ 即为 $x\left ( t \right )$ ，虚部 $x_Q\left ( t \right )$ 为 $x\left ( t \right )$

的希尔伯特变换 $\tilde{x}\left ( t \right )$ ；频域上，实信号 $y_s$ 的频谱关于0点呈现共轭对称的情形即： $F_s(\omega) = F_s^*(-\omega)$ ，对应的复信号 $y_f$ 的频谱只分布在正半轴，且与实信号 $y_s$ 频域正半轴的频谱形状形同、幅值为2倍，即：

（1）

图1 线性调频信号的实信号与复信号的时频域

二、为什么要用复信号

既然雷达工程中发射和接收的信号的实信号，那么为什么在发射之前和接收之后要用复信号进行波形调制和信号处理呢？复信号有什么优点呢？回答这个问题之前先介绍带通信号和正交变频。

如果信号包含的主要频率处于离开原点的某个频率附近，则称其为带通信号，如图2所示。由于实际雷达装备的放大器、天线的硬件设备的性能总是针对某一个频率范围的，因此通过将雷达信号的频率固定在某一中心频率的附近有利于保持雷达波形在调制、发射、接收过程中的不失真。一个实带通信号 $x\left ( t \right )$ 在数学上可表示为：

$x(t) = r(t) \cos(2\pi f_0 t + \phi(t))$

（2）

其中， $r\left ( t \right )$ 是实信号的幅度调制函数， $\phi(t)$ 是相位调制函数， $f_0$ 是载波频率，此时， $r\left ( t \right )$ 和 $\phi(t)$

也可能包含有频率成分，但要保证 $r\left ( t \right )$ 和 $\phi(t)$ 所包含的频率成分都远小于 $f_0$ ，极端情况下，当 $r\left ( t \right )$ 或 $\phi(t)$ 为恒定值不随时间变化时其频率成分为0。在雷达工程中常将信号的频率全部集中在频率 $f_0$ 和相位 $\phi(t)$ 上，而保持幅度调制函数 $r\left ( t \right )$ 为一个恒定值。假设 $\phi(t)$ 的频率为 $f_m$ ，则实信号 $x\left ( t \right )$ 的频率为 $f_0+f_m$ 。

图2 常见带通信号频率示意图

现代的雷达均采用数字体制，其波形的调制过程是将雷达波形先以数字的形式存储在波形池中，然后在发射时通过数模转化将数字波形转换为模拟波形。通过奈奎斯特定理可以知道，要想把雷达信号 $x(t) = r(t) \cos(2\pi f_0 t + \phi(t))$ 以数字形式存储在波形池中就需要以至少大于 $2\left (f_0+f_m \right )$ 的采样率对波形进行采样，这样将导致采样的数据量非常大，波形池存储不便。信号处理原理告诉我们，信号的信息藏在信号的频谱当中，而信号的频谱在整体搬移的过程中不会影响信号的信息。对于信号 $x\left ( t \right )$ ，可知其波形的本质特征是映射在 $\phi(t)$ 对应的频谱上的，载频 $f_0$ 是频谱中心频率搬移量，不携带波形的本质特征。因此，如图3所示，若将信号 $x\left ( t \right )$ 频谱的中心频率 $f_0$
搬移至0频，然后对此信号进行存储即可在保证波形的本质特征的同时大大降低波形池的数字存储量（仅需要大于 $2f_m$ 的采样率所对应的数据量进行存储）。称此频谱中心频率为0的信号为基带信号 $x_0\left ( t \right )$ 。对于该基带信号，可发现此时的频谱并不满足关于0点呈现共轭对称的特征，因此可知此时基带信号的表示形式只能是复信号的表示形式。

图3 将带通信号的频谱的中心频率搬移至0频

那么对于带通信号 $x(t) = r(t) \cos(2\pi f_0 t + \phi(t))$ ，其对应的基带信号 $x_0\left ( t \right )$ 是什么呢？对公式（2）进行展开有：

$x(t) = r(t) \cos \phi(t) \cos 2\pi f_0 t - r(t) \sin \phi(t) \sin 2\pi f_0 t$

（3）

可以观察到若令 $x_0(t) = r(t) \cos \phi(t) +j r(t) \sin \phi(t)$ ，则 $x_0\left ( t \right )$ 的频谱即对应为 $x\left ( t \right )$ 的中心频率搬移到0频的频谱，将 $x_I(t) = r(t) \cos \phi(t)$ 、 $x_Q(t) = r(t) \sin \phi(t)$ 称为基带信号 $x_0\left ( t \right )$ 的IQ正交分量（ $x_I(t)$ 为I路分量、 $x_Q(t)$ 为Q路分量）， $\cos \phi(t)$ 和 $\sin \phi(t)$ 称为正交变频本振，那么从波形池到带通信号的流程可表示为如图4所示。事实上，我们看到在数学上通过这种IQ表达此种雷达信号从波形池到带通信号的流程是比较麻烦的，如果我们将带通信号 $x\left ( t \right )$ 也表示为对应的复信号 $x_f\left ( t \right )$ 则可以将此流程的数学表达简化。根据第一步部分阐述实信号与对应复信号的特征可以知道带通信号 $x\left ( t \right )$ 对应的复信号 $x_f\left ( t \right )$ 为：