直角坐标系下 dxdy 微小矩形面积

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直角坐标系下二重积分中的 $dxdy$ 可以理解为“微小面积”？

• $dxdy$ 在二重积分中代表微小的矩形面积，来源于黎曼和的极限。
• 它是直角坐标系下的面积微元，在其他坐标系（如极坐标）下会变化（如 $rdrd\theta$）。
• 二重积分可以理解为：
  用无数个微小面积 $dxdy$ 乘以函数值 $f(x,y)$，再求和。

因此，

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy$$

的 $dxdy$ 确实可以理解为“微小的面积”，它是积分计算中的基本单位。

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1. 直观理解：黎曼和的极限

二重积分的定义来源于**黎曼和（Riemann Sum）**的极限。具体步骤如下：

① 划分区域 $D$

将积分区域 $D$ 划分为许多小的矩形（或更一般的子区域），设每个小矩形的边长为 $\Delta x$ 和 $\Delta y$，则其面积为：

$$\Delta A=\Delta x\cdot \Delta y$$

② 采样并求和

在每个小矩形内任取一点 $(x_i,y_j)$，计算 $f(x_i,y_j)$，并乘以该小矩形的面积 $\Delta A$，得到：

$$\sum _{i,j}f(x_i,y_j)\Delta x\Delta y$$

③ 取极限

当划分越来越细（即 $\Delta x\to 0$，$\Delta y\to 0$），这个黎曼和的极限就是二重积分：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy=\underset{\Delta x,\Delta y\to 0}{\lim }\sum _{i,j}f(x_i,y_j)\Delta x\Delta y$$

✅ 结论：

• $dxdy$ 本质上是 $\Delta x\Delta y$ 的极限形式，代表一个无限小的矩形面积。
• 因此，$dxdy$ 可以理解为“微小的面积元素”。

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2. 更严格的数学定义：测度论视角

在测度论（Measure Theory）中，二重积分可以定义为：

$${\iint }_{D}f(x,y)dA$$

其中 $dA$ 是面积微元（Area Element），在直角坐标系下就是 $dxdy$。

面积微元的定义

在 ${\mathbb{R}}^2$ 中，标准的面积微元就是 $dxdy$，因为它对应于笛卡尔坐标下的“小矩形面积”。

其他坐标系下的面积微元

• 极坐标：$dA=rdrd\theta$（因为极坐标下的“微小扇形”面积是 $r\Delta r\Delta \theta$）。

• 一般变量替换：如果做变换 $x=x(u,v)$，$y=y(u,v)$，则面积微元变为：

  $$dA=|J|dudv$$

  其中 $J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$ 是 Jacobian 行列式，用于修正坐标变换导致的面积缩放。

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3. 物理意义：计算“总量”

二重积分常用于计算：

• 平面区域的质量（如果 $f(x,y)$ 是密度函数）；
• 曲顶柱体的体积（如果 $f(x,y)$ 是高度）；
• 概率分布的总概率（在概率论中）。

关键思想

• 把整个区域 $D$ 分解成无数个微小区域，每个区域的贡献是
  $f(x,y)\times$（微小面积）。
• 因此，$dxdy$ 就是每个微小区域的面积，而积分就是无限求和。

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4. 为什么不能直接写成 $dA$ 而非 $dxdy$？

• 在数学上，$dA$ 是更通用的写法，
• 在直角坐标系下， $dA=dxdy$。
• 在极坐标系下， $dA=rdrd\theta$
• 在其他坐标系下，

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