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LeetCode 169：多数元素 - 摩尔投票法的精妙解法

news 来源：原创 2025/5/30 12:22:14

标签：LeetCode 169, 多数元素, 摩尔投票法, Java算法, 数组处理

题目描述

给定一个大小为 n 的数组，找到其中的多数元素。多数元素是指在数组中出现次数大于 ⌊n/2⌋ 的元素。你可以假设数组是非空的，并且给定的数组总是存在多数元素。

示例 1：

输入：[3,2,3]
输出：3

示例 2：

输入：[2,2,1,1,1,2,2]
输出：2

问题分析

多数元素问题要求我们找出数组中出现次数超过一半的元素。最直观的解法是使用哈希表统计元素出现次数，但这需要 O(n) 的额外空间。排序后取中间元素的解法需要 O(n log n) 的时间复杂度。那么是否存在一种既高效又节省空间的解法呢？

摩尔投票法 (Boyer-Moore Voting Algorithm) 正是解决这类问题的绝佳方案，它能在 O(n) 时间复杂度和 O(1) 空间复杂度内解决问题。

摩尔投票法原理

摩尔投票法的核心思想是元素抵消，它基于一个关键事实：由于多数元素的数量超过所有其他元素数量的总和，因此通过相互抵消的方式，最终剩下的必定是多数元素。

算法步骤

初始化候选元素 candidate 和计数器 count
遍历数组中的每个元素：
- 当 count == 0 时，将当前元素设为候选元素
- 当当前元素等于候选元素时，count++
- 当当前元素不等于候选元素时，count--
返回候选元素作为多数元素

为什么有效？

假设多数元素为 m，出现次数为 k，数组长度为 n，则：

k > n/2
其他元素总数为 n-k < k

在遍历过程中：

每个 m 使 count+1
每个非 m 使 count-1

最终计数相当于：count = k - (n - k) = 2k - n

因为 k > n/2，所以 2k > n，即 2k - n > 0，因此最终 count > 0，候选元素必定是多数元素。

Java代码实现

class Solution {public int majorityElement(int[] nums) {// 初始化候选元素和计数器int candidate = nums[0];int count = 0;for (int num : nums) {// 当计数器为0时，选择新的候选元素if (count == 0) {candidate = num;}// 更新计数器：当前元素等于候选元素则+1，否则-1count += (num == candidate) ? 1 : -1;}// 最终候选元素即为多数元素return candidate;}
}

算法演示

以数组 [2,2,1,1,1,2,2] 为例：

步骤	当前元素	candidate	count	说明
1	2	2	1	初始化 candidate 为 2
2	2	2	2	相同元素，count++
3	1	2	1	不同元素，count–
4	1	2	0	不同元素，count–
5	1	1	1	count=0，重置 candidate
6	2	1	0	不同元素，count–
7	2	2	1	count=0，重置 candidate

最终结果：2（正确）

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，只需遍历数组一次
空间复杂度：O(1)，仅使用常数级别的额外空间

算法优势

空间效率：不需要额外的哈希表存储空间
时间效率：仅需一次遍历即可得到结果
简洁性：代码实现简单明了，逻辑清晰
通用性：适用于任何满足多数元素定义的场景

边界情况处理

虽然题目保证存在多数元素，但在实际应用中，我们可以添加验证步骤：

// 验证候选元素是否确实是多数元素
int verify = 0;
for (int num : nums) {if (num == candidate) {verify++;}
}if (verify > nums.length / 2) {return candidate;
} else {throw new IllegalArgumentException("No majority element exists");
}