动态规划题解——爬楼梯（力扣70 easy）
70. 爬楼梯
方法一、递归 + 记录返回值 = 记忆化搜索
注意到「先爬 1 个台阶，再爬 2 个台阶」和「先爬 2 个台阶，再爬 1 个台阶」，都相当于爬 3 个台阶，都会从 dfs(i) 递归到 dfs(i−3)。
一叶知秋，整个递归中有大量重复递归调用（递归入参相同）。由于递归函数没有副作用，同样的入参无论计算多少次，算出来的结果都是一样的，因此可以用记忆化搜索来优化：
- 如果一个状态（递归入参）是第一次遇到，那么可以在返回前，把状态及其结果记到一个 memo 数组中。
- 如果一个状态不是第一次遇到（memo 中保存的结果不等于 memo 的初始值），那么可以直接返回 memo 中保存的结果。
注意：memo 数组的初始值一定不能等于要记忆化的值！例如初始值设置为 0，并且要记忆化的 dfs(i) 也等于 0，那就没法判断 0 到底表示第一次遇到这个状态，还是表示之前遇到过了，从而导致记忆化失效。一般把初始值设置为 −1。本题由于方案数均为正数，所以可以初始化成 0。
class Solution:def climbStairs(self, n: int) -> int:@cache # 缓存装饰器，避免重复计算 dfs 的结果def dfs(i: int) -> int:if i <= 1: # 递归边界return 1return dfs(i - 1) + dfs(i - 2)return dfs(n)时间复杂度：O(n)。由于每个状态只会计算一次，动态规划的时间复杂度 = 状态个数 × 单个状态的计算时间。本题状态个数等于 O(n)，单个状态的计算时间为 O(1)，所以动态规划的时间复杂度为 O(n)。
空间复杂度：O(n)。有多少个状态，memo 数组的大小就是多少。
方法二、1:1 翻译成递推
我们可以去掉递归中的「递」，只保留「归」的部分，即自底向上计算。
具体来说，f[i] 的定义和 dfs(i) 的定义是一样的，都表示从 0 爬到 i 有多少种不同的方法。
相应的递推式（状态转移方程）也和 dfs 一样：
f[i]=f[i−1]+f[i−2]
相当于之前是用递归去计算每个状态，现在是枚举并计算每个状态。
初始值 f[0]=1, f[1]=1，翻译自递归边界 dfs(0)=1, dfs(1)=1。
答案为 f[n]，翻译自递归入口 dfs(n)。
class Solution:def climbStairs(self, n: int) -> int:# 创建一个长度为 n+1 的列表 f，用于存储每一步的解（动态规划表）f = [0] * (n + 1)# 初始化基本情况：# f[0] = 1：表示到达第 0 层（地面）的方法只有一种（不动）# f[1] = 1：从第 0 层到第 1 层只有一种方式（走一步）f[0] = f[1] = 1# 动态规划递推：从第 2 层开始计算每一层的方法数for i in range(2, n + 1):# 到达第 i 层的方式数等于：# - 从第 i-1 层走 1 步上来# - 或者从第 i-2 层走 2 步上来f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]# 返回最终结果：到达第 n 层的方法数return f[n]📊 示例演示：当 n = 5 时，数组 f 的变化过程如下：
| i | f[i] | 解释 |
|---|---|---|
| 0 | f[0] = 1 | 初始值 |
| 1 | f[1] = 1 | 初始值 |
| 2 | f[2] = 2 | f[1] + f[0] = 1 + 1 |
| 3 | f[3] = 3 | f[2] + f[1] = 2 + 1 |
| 4 | f[4] = 5 | f[3] + f[2] = 3 + 2 |
| 5 | f[5] = 8 | f[4] + f[3] = 5 + 3 |
所以，当 n=5 时，输出是 8。
⏱️ 时间复杂度分析：
- 时间复杂度：O(n)，因为我们循环了
n次。 - 空间复杂度：O(n)，使用了一个大小为
n+1的数组来保存中间结果。
方法三、空间优化
用nen_f来作为中间变量传递值
每次循环，计算出新的状态 newF=f1+f0
那么对于下一轮循环来说：
- 「上上一个状态」就是 f1，更新 f 0=f1
- 「上一个状态」就是 newF，更新 f1=newF。
最后答案为 f1，因为最后一轮循环算出的 newF 赋给了 f
class Solution:def climbStairs(self, n: int) -> int:f0 = f1 = 1for _ in range(2,n+1):nen_f = f0 + f1f0 = f1f1 = nen_freturn f1📊 示例演示：当 n = 5 时，循环过程如下：
| 循环次数 | 当前层 i | new_f = f1 + f0 | f0 更新为 | f1 更新为 |
|---|---|---|---|---|
| 初始 | - | - | 1 | 1 |
| 第1次 | i=2 | 1+1=2 | 1 | 2 |
| 第2次 | i=3 | 2+1=3 | 2 | 3 |
| 第3次 | i=4 | 3+2=5 | 3 | 5 |
| 第4次 | i=5 | 5+3=8 | 5 | 8 |
最终返回 f1 = 8，说明爬 5 层楼有 8 种不同方式。
⏱️ 时间与空间复杂度分析：
- 时间复杂度： O(n)，我们只遍历了一次循环。
- 空间复杂度： O(1)，只用了几个变量，没有使用额外数组。