红黑树，B树，二叉树之间的不同

二叉树

二叉树是一种树状结构，每个节点最多只有两个子节点：左子节点和右子节点。

结构

        A/ \B   C/ \   \D   E   F

这里：

• A是根节点
• B和C是A的子节点
• D和E是B的子节点
• F是C的子节点

基本术语

• 节点（Node）：树的每个元素，比如A、B、C
• 根节点（Root）：树的最顶端节点，比如以上示例的A
• 叶子节点（Leaf）：没有子节点的节点（D、E、F）
• 子节点（Child）：某节点的直接下级节点（B是A的子节点，D是B的子节点）
• 父节点（Parent）：某节点的上级节点（D的父节点是B，B的父节点是A）
• 深度（Depth）：节点到根的距离（层数）
• 高度（Height）：节点到叶子节点的最长路径

	深度（Depth）	高度（Height）
定义	节点到根的距离（层数）	节点到叶子的最长路径（层数）
例子	根深度为0，叶子深度为最大	叶子高度为0，树根高度最大，反映从节点到叶子路径

深度和高度不同，不要搞错了。

类型

类型	描述	举例
普通二叉树	任意节点最多两个子节点	上面示意的树
满二叉树	所有叶子节点都在同一层，且每个非叶子节点有两个子节点	每层的节点数都满
完全二叉树	除最后一层外，每层节点都满，最后一层节点尽可能集中在左侧	完全二叉堆
平衡二叉树	任意节点左右子树高度差不超过1	AVL树、红黑树

遍历方式

• 前序遍历（Pre-order）： 根 -> 左子树 -> 右子树
• 中序遍历（In-order）： 左子树 -> 根 -> 右子树
• 后序遍历（Post-order）： 左子树 -> 右子树 -> 根
• 层序遍历（Level-order）： 按层从上到下、从左到右

示例：
假设树如下：

        A/ \B   C/ \   \D   E   F

• 前序：A -> B -> D -> E -> C -> F
• 中序：D -> B -> E -> A -> C -> F
• 后序：D -> E -> B -> F -> C -> A
• 层序：A, B, C, D, E, F

性质

• 节点数关系：
  在一棵二叉树中，节点总数为：

                        ∇=叶子节点数+非叶子节点数
  

• 深度与高度：

  • 树的深度（层数）越多，树越高
  • 平衡的二叉树操作通常为了减少树的高度，以优化性能

二叉搜索树

对于树中的每个节点：

• 左子树上所有节点的值都小于这个节点的值
• 右子树上所有节点的值都大于这个节点的值
  这样，整棵树就按照“二叉搜索树的性质”排序了。

实例

假设插入数字：10, 5, 15, 3, 7

结构大致是：

        10/   \5     15/ \3   7

• 每个节点左边都比它小，右边都比它大
• 可以快速实现搜索、插入、删除

作用

• 快速查找：通过中序遍历，得到一个有序序列
• 基础结构：很多复杂的树（如AVL、红黑树）都是在BST基础上改进的
• 应用广泛：数据库索引、字典等

平衡二叉树

平衡二叉树是一类特殊的二叉搜索树，其任何节点的左右子树的高度差（平衡因子）都不超过1。这样保证树的高度始终保持在 logn 的级别。

使用平衡二叉树的原因

• 普通BST在极端情况下可能退化成链表：

  • 比如按顺序插入有序数据，会形成一条长链，查找变为线性时间 O(n)。

• 平衡树维持树的高度最小化，保证查找、插入、删除操作高效。

常见的平衡二叉树

• AVL树（Adelson-Velsky and Landis Tree）

  • 平衡因子（Balance factor）：每个节点左子树高度减右子树高度，要求为-1、0、1。
  • 每次插入或删除后，可能需要“旋转”操作来修复平衡。

• 红黑树

  • 性质：每个节点是红或黑，满足特定规则，使树始终大致平衡。
  • 特点：插入、删除后通过“变色”和“旋转”保持平衡，常用于Java的TreeMap、C++的map。

实例

以AVL树为例：如何保持平衡

• 插入/删除节点后：

  • 从插入位置向上回溯，检测每个节点的平衡因子
  • 如果某个节点的平衡因子超出范围（>1 或 <-1），就需要“旋转”调整

• 旋转类型：

• 左旋（Single Left Rotation）

• 右旋（Single Right Rotation）

• 左右旋（Left-Right Rotation）

• 右左旋（Right-Left Rotation）

这些旋转操作帮助重新平衡树，保持每个节点的平衡因子在允许范围内。

旋转

单旋转

• LL旋转（左左不平衡 -> 右旋）

场景：
插入新节点后，左子树的左子节点变得过高，导致树左侧“倾斜”。

    不平衡前                     旋转后A                            B/                            / \B        —— 右旋 ——          C   A/                                C                                

• 将A进行右旋转 将节点B作为新的根节点，A成为B的右子节点，C（原B的左子节点）作为A的左子节点。
• RR旋转（右右不平衡 -> 左旋）

场景：
插入新节点后，右子树的右子节点变得过高。

  不平衡前                     旋转后A                             B\                         /   \B        —— 右旋 ——      A     C\                           \C                           D

• 将A左旋转 成为左节点

双旋转

• LR旋转（左-右不平衡）

场景：
左子树的右子树高，需先左旋左子树，再右旋根节点。

不平衡前                         旋转后A                              /                             B        —— 先左旋 B 在右旋A ——   B   \                            /  \ C                          C    A

总结

特点	说明
每个节点的平衡因子（左右子树高度差）	$\le 1$（即-1, 0, 1）
保持树的高度在 $\log n$ 级别	确保操作时间为 $ O(\log n) $
通过旋转调整平衡	在插入、删除操作后自动修复

旋转子树时其他不变，当子树旋转结束后，谁是子树根节点，全树的根节点就连接谁。

红黑树

红黑树是一类自平衡的二叉搜索树，它通过“颜色标记”以及一系列规则，确保树的高度大致平衡，从而在插入、删除和查找操作中实现 O(logn) 的时间复杂度。

节点属性

每个节点有：

• 一个值（数据）
• 一个颜色（红或黑）
  • 在红黑树的定义中，黑色节点的数量（黑高）决定了路径的长度，而红色节点只是“装饰”
  • 红节点不增加黑色节点的数量，只是“点缀”，用于调节树结构。
  • 黑节点：像“楼层数”，决定了路径的基本高度。
  • 红节点：像“楼层之间的装饰”，不会加高，但帮助控制设计。
• 指向左右子节点的指针
• 指向父节点的指针（有的实现会有）

结构

        (8B)/     \(4R)     (12R)/  \      /   \(2B) (6B) (10B) (14B)

• R代表红色，B代表黑色

关键属性

• 节点是红色或黑色
• 根节点是黑色
  • 保持树的“起点”黑色，有助于维护路径上黑色节点的平衡。
  • 这样可以避免频繁出现连续的红色起点，也简化性质的维护。
• 所有叶子（NIL节点，即空子节点）都是黑色
  • 方便统一处理空子节点，简化算法设计。
  • 通过将叶子定义为黑色，确保路径中的黑色节点计数一致。
• 红色节点的子节点必须是黑色（不能连续两个红节点）
  • 连续的红色节点会导致路径中的黑色节点数变少，从而使树高度偏高，平衡性差
• 从任何节点到叶子节点的所有路径都包含相同数目的黑色节点（黑色平衡）

作用与优势

• 保持树的平衡：通过颜色规则避免树变得太高（退化为链表）。
• 保证操作效率：插入、删除、查找都在 O(logn) 范围内。

插入操作

插入新节点类似BST：

• 新节点总是插入为红色（为了不是破坏黑色平衡）
• 然后修复颜色和旋转，保持红黑性质

插入修复（修复红色连续性）

可能出现：

• 红节点的父节点也是红色（违反性质 4）

修复方法：

• 情况1：叔叔节点为红色

       A/  \B    C/ \D   E

• D的父节点是 B。

• B的兄弟节点（父节点的兄弟）就是 C。

  • 将父节点和叔叔节点变为黑色
  • 将祖父节点变为红色
  • 继续向上修正

• 情况2：叔叔节点为黑色或不存在（空节点）

  • 进行左旋或右旋调整，以恢复性质，往往以“旋转+颜色调整”完成

状况	处理方法
父节点是红色，叔叔节点是红色	变色 + 重新向上修复
父节点是红色，叔叔节点是黑色（或不存在）	旋转 + 变色（形成左右旋转的调整）

例：

插入节点7

• 作为红色节点插入
• 如果父节点是黑色，无需调整
• 如果父节点是红色（出现连续红色），进行旋转和颜色调整

删除操作

• 类似BST，但需要调整来恢复红黑性质
• 可能涉及“向下传递”的颜色和旋转调整

核心思想

• 红黑树通过限制“连续红节点“和”黑色路径长度一致“，保证树的高度在”对数级“
• 调整主要依靠颜色变换和旋转

总结

特性	描述
节点颜色	每个节点是红或黑
根节点	必须是黑色
叶子节点（NIL）	全部是黑色，作为叶节点，用来简化算法
红色节点的子节点	必须是黑色（不能连续两个红色节点）
所有路径的黑色节点数相同	从根到任意叶子路径，黑色节点数一致（黑高平衡）

如果出现连续红节点会出现的问题：

• 形成连续的红色链（如：连续三个红色节点），
• 破坏黑色节点平衡的性质（因为黑色节点数变少了），
• 使得树的高度可能增长，变得不平衡。

红黑树的设计宗旨是限制红色链的长度：

• 规则“红色节点的子节点必须是黑色”，实际上限制了连续红色的长度最多为1。
• 这样，路径上的红色节点最多只有一层，避免了“红色链”无限长，从而保证树的平衡。

B树

• B树是一棵阶数为 m 的多路平衡搜索树。
• 每个节点最多有 m 个子节点（即 m-1 个关键字）。

基本性质

• 每个内部节点（非叶子节点）：
  • 含有 k (m/2 - 1 ≤ k ≤ m-1) 个关键字
  • 有 k+1 个子节点
• 所有叶子节点在同一层（树的高度平衡）。
• 每个节点（除了根节点），关键字数都在允许范围内。
  根节点：
  • 可以只有1个关键字（或更少，视具体定义而定），但一般至少有一个关键字，除非树为空。

具体阶数

• 阶（阶数）为 m
• 每个节点（除了叶子）至少有 ⌊m/2⌋ 个关键字（除了根）
• 每个节点最多有 m-1 个关键字

结构特点

特性	描述
多路	每个内部节点可以有多个子节点（非二叉树）。
平衡	所有叶子节点在同一层，保证查找、插入、删除的平均和最坏时间都 O(log n)。
关键字存储	节点内存放有序的关键字，用于导航搜索。
节省空间	由于多个关键字在一节点，减少树的高度，从而减少磁盘操作。

操作

• 1. 查找
  • 从根节点开始，比较目标值与当前节点的关键字。
  • 根据比较结果，沿对应子节点递归查找。
  • 直到找到目标或到达叶子。
• 2. 插入
  • 先找到插入位置（类似查找），在叶子节点插入。
  • 如果叶子已满（达到最大关键字数），则分裂：
    • 将中间关键字上升到父节点
    • 分裂成两个节点
  • 如果父节点也满，则递归向上分裂。
• 3. 删除
  • 找到目标关键字所在节点：
    • 如果是叶子，直接删除。
    • 如果是内部节点，用前驱或后继节点替换，然后再删除叶子中的值。
  • 如果删除后节点关键字数少于最小（合规性），需要借兄弟节点或合并节点。

与B+树的区别

• B树：所有节点（内部和叶子）都存关键字。
• B+树：只有叶子存关键字，内部节点存索引，支持更高的查询效率。

实例

假设 m=4（阶为4）：

• 每个节点最多有 3 个关键字和 4 个子节点。
• 每个非根节点至少有 2 个关键字（即⌊4/2⌋）。

简单的B树结构：

        [10, 20]/    |    \[5, 7]  [12, 15] [22, 25]

节点类型	关键字	子节点说明	叶子或非叶子
根节点	[10, 20]	3个子节点： - 小于10 - 10到20之间 - 大于20	非叶子
左子节点	[5, 7]	无子节点（叶子） (如果它是叶子)	叶子
中左子节点	[12, 15]	无子节点（叶子）	叶子
右子节点	[22, 25]	无子节点（叶子）	叶子

• 如果这是一个完整的B树，这些叶子可以在同一层，存放实际数据（例如：具体的元素值）。
• 叶子节点中的关键字存放实际数据，或者指向存放数据的存储位置。

节点类型	存放内容	作用
内部节点（非叶子）	索引/导航用的关键字	引导搜索，决定下一步到哪个子节点
叶子节点	存放实际数据或数据指针	具体的数据存储点；支持范围查询和顺序扫描

• 内部节点：
  • [10, 20]，用来引导：<10，10到20，>20
• 叶子节点：
  • [5, 7]，[12, 15] ，[22, 25]，存放实际数据元素。

总结