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竞赛小算法总结（二）：gcdlcm,拓展欧几里得线性同余，逆元（含代码详解）

news 来源：原创 2025/5/29 11:43:55

一 gcd&lcm

这个其实也属于是很简单但非常有必要掌握的小算法。

1. 定义

“gcd” 是 “Greatest Common Divisor” 的缩写，中文名为最大公约数 ，也称最大公因数。它指的是两个或多个整数共有约数中最大的一个。例如，对于整数 12 和 18 ，12 的约数有 (1, 2, 3, 4, 6, 12) ，18 的约数有 (1, 2, 3, 6, 9, 18) ，它们共有的约数有 (1, 2, 3, 6) ，其中最大的是 6 ，所以 12 和 18 的最大公约数（gcd ）是 6 ，可表示为 (gcd(12, 18)=6) 。

2. 计算方法

这个其实也不用完全死记，大概记住现场也可以推一下。

下面是代码

/*** 使用辗转相除法计算两个整数的最大公约数（GCD）。* 原理：对于任意两个整数a和b，gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)，* 不断重复此过程直到余数为0，此时的除数即为最大公约数。* * @param a 第一个整数* @param b 第二个整数（不能为0，否则会导致除零异常）* @return a和b的最大公约数*/
public static int gcd(int a, int b) {// 计算a除以b的余数int k = a % b;// 当余数为0时，当前的除数b就是最大公约数if (k == 0) {return b;}// 否则递归计算b和余数k的最大公约数return gcd(b, k);
}

lcm就是最小公倍数，我们直接a*b/gcd(a,b)就可以了。

代码：

public static int lcm(int a,int b) {return a*b/gcd(a,b);}

二拓展欧几里得&线性同余

拓展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm）

基本定义 拓展欧几里得算法是欧几里得算法（辗转相除法）的扩展，不仅能计算两个整数 a 和 b 的最大公约数 (d = gcd(a, b))，还能找到整数 x 和 y，使得：ax + by = d其中，x 和 y 被称为 贝祖系数（Bézout coefficients）。

贝祖系数一般用于求解求解线性不定方程ax + by = d，题目可能设计成以这个为原理的故事算法题，还有就是第三部分要讲的求模逆元。

下面来看怎么求贝祖系数：

在计算gcd时进行回溯。

// 扩展欧几里得算法 - 递归实现public static long[] extendedGCD(long a, long b) {if (b == 0) {// 终止条件：gcd(a, 0) = a，对应的贝祖系数为 (1, 0)return new long[]{a, 1, 0};} else {// 递归计算 gcd(b, a mod b)long[] result = extendedGCD(b, a % b);//接受上一层的返回值long gcd = result[0];long x = result[2];long y = result[1] - (a / b) * result[2];return new long[]{gcd, x, y};}}

三模拟元

逆元（模运算中的乘法逆元）

在模运算中，逆元（Multiplicative Inverse） 是一个核心概念，用于解决除法问题。对于整数 a 和模数 m，若存在整数 x 使得：

则称 x 为 a 在模 m 下的逆元。逆元存在的充要条件是 a 和 m 互质（即 gcd(a, m) = 1）。

1. 扩展欧几里得算法

当 a 和 m 互质时，通过扩展欧几里得算法求解 ax + my = 1，得到的 x 即为逆元。

 // 计算模逆元：若 a 和 m 互质，返回 a 在模 m 下的逆元；否则返回 -1public static long modInverse(long a, long m) {long[] result = extendedGCD(a, m);long gcd = result[0];long x = result[1];if (gcd != 1) {// a 和 m 不互质，逆元不存在return -1;} else {// 确保逆元在 [0, m-1] 范围内return (x % m + m) % m;}}

2. 费马小定理（当 m 为质数时）

代码：

public static long powMod(long a, long b, long mod) {long result = 1;       // 初始化结果为1while (b > 0) {        // 循环直到指数b变为0if ((b & 1) != 0) { // 检查b的二进制最低位是否为1（等价于b % 2 != 0）result = result * a % mod; // 若为1，将当前底数a乘入结果并取模}a = a * a % mod;   // 底数平方并取模b >>= 1;           // 指数右移一位（等价于b /= 2）}return result;
}

讲实话，我碰到的最多的是gcd和lcm和逆元，逆元一般用于求含除数运算的数的模，如42!/2024%100000007。