《P1763 埃及分数》

题目描述

来源：BIO 1997 Round 1 Question 3

在古埃及，人们使用单位分数的和（形如 a1​ 的，a 是自然数）表示一切有理数。如：32​=21​+61​，但不允许 32​=31​+31​，因为加数中有相同的。对于一个分数 ba​，表示方法有很多种，但是哪种最好呢？首先，加数少的比加数多的好，其次，加数个数相同的，最小的分数越大越好。如：

4519​4519​4519​4519​4519​​=31​+121​+1801​=31​+151​+451​=31​+181​+301​=41​+61​+1801​=51​+61​+181​​

最好的是最后一种，因为 181​ 比 1801​,451​,301​ 都大。
注意，可能有多个最优解。如：

21159​21159​​=41​+361​+6331​+37981​=61​+91​+6331​+37981​​

由于方法一与方法二中，最小的分数相同，因此二者均是最优解。

给出 a,b，编程计算最好的表达方式。保证最优解满足：最小的分数 ≥1071​。

输入格式

一行两个整数，分别为 a 和 b 的值。

输出格式

输出若干个数，自小到大排列，依次是单位分数的分母。

输入输出样例

输入 #1复制

19 45

输出 #1复制

5 6 18

说明/提示

1<a<b<1000

代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
vector<LL> ans_d, temp_d;
int max_depth;

// 求最大公约数
LL gcd(LL a, LL b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

// 约分分数 a/b
pair<LL, LL> reduce(LL a, LL b) {
    LL g = gcd(a, b);
    return {a / g, b / g};
}

// 比较两个解的优劣
bool better(const vector<LL>& a, const vector<LL>& b) {
    if (a.empty()) return false;
    if (b.empty()) return true;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) {
        if (a[i] != b[i]) return a[i] < b[i];
    }
    return false;
}

// 深度优先搜索寻找最优解
bool dfs(int depth, LL a, LL b, LL from) {
    if (depth == max_depth) {
        if (a != 1) return false;
        if (b < from) return false;
        temp_d.push_back(b);
        if (better(temp_d, ans_d)) {
            ans_d = temp_d;
        }
        temp_d.pop_back();
        return true;
    }

    bool found = false;
    from = max(from, (b + a - 1) / a); // 计算k的下界
    for (LL k = from; ; k++) {
        // 剪枝：如果剩余的深度无法达到更好的解
        LL max_remaining = b * (max_depth - depth + 1);
        if (k > max_remaining) break;

        LL new_a = a * k - b;
        LL new_b = b * k;
        if (new_a <= 0) continue;

        pair<LL, LL> reduced = reduce(new_a, new_b);
        LL na = reduced.first;
        LL nb = reduced.second;
        
        temp_d.push_back(k);
        if (dfs(depth + 1, na, nb, k + 1)) {
            found = true;
        }
        temp_d.pop_back();
    }
    return found;
}

int main() {
    LL a, b;
    cin >> a >> b;

    pair<LL, LL> reduced = reduce(a, b);
    a = reduced.first;
    b = reduced.second;

    for (max_depth = 1; ; max_depth++) {
        temp_d.clear();
        if (dfs(1, a, b, (b + a - 1) / a)) {
            break;
        }
    }

    sort(ans_d.begin(), ans_d.end());
    for (vector<LL>::iterator it = ans_d.begin(); it != ans_d.end(); ++it) {
        cout << *it << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}