每日一题——不同路径的数目与矩阵最小路径和

1. 机器人路径问题

题目描述

一个机器人在 (m \times n) 大小的地图的左上角（起点）。机器人每次可以向下或向右移动。机器人要到达地图的右下角（终点）。可以有多少种不同的路径从起点走到终点？

数据范围：
(0 < n, m \leq 100)，保证计算结果在 32 位整型范围内。

要求：

• 空间复杂度：(O(nm))
• 时间复杂度：(O(nm))
• 进阶：空间复杂度 (O(1))，时间复杂度 (O(\min(n, m)))

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示例

示例 1

输入：
2, 1
返回值：
1

示例 2

输入：
2, 2
返回值：
2

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解题思路

动态规划

1. 定义状态：

   • 设 dp[i][j] 表示从起点到位置 (i, j) 的不同路径数。

2. 状态转移方程：

   • 机器人只能向下或向右移动，因此：
     [
     dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
     ]

3. 边界条件：

   • 当 (i = 1) 或 (j = 1) 时，dp[i][j] = 1，因为只有一条路径（一直向右或一直向下）。

4. 目标：

   • 计算 dp[m][n]，即从起点到终点的路径数。

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代码实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int uniquePaths(int m, int n) {
    // 分配动态规划表
    int** dp = (int**)calloc(m + 1, sizeof(int*));
    for (int i = 0; i <= m; i++) {
        dp[i] = (int*)calloc(n + 1, sizeof(int));
    }

    // 初始化边界条件
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        dp[i][1] = 1;
    }
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        dp[1][j] = 1;
    }

    // 填充动态规划表
    for (int i = 2; i <= m; i++) {
        for (int j = 2; j <= n; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        }
    }

    // 获取结果
    int num = dp[m][n];

    // 释放动态规划表
    for (int i = 0; i <= m; i++) {
        free(dp[i]);
    }
    free(dp);

    return num;
}

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复杂度分析

• 时间复杂度：(O(m \times n))，需要填充 (m \times n) 的动态规划表。
• 空间复杂度：(O(m \times n))，用于存储动态规划表。

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2. 矩阵的最小路径和

题目描述

给定一个 (n \times m) 的矩阵 a，从左上角开始每次只能向右或者向下走，最后到达右下角的位置，路径上所有的数字累加起来就是路径和，输出所有的路径中最小的路径和。

数据范围：
(1 \leq n, m \leq 500)，矩阵中任意值都满足 (0 \leq a_{i,j} \leq 100)。

要求：

• 时间复杂度：(O(nm))

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示例

示例 1

输入：
[[1,3,5,9],[8,1,3,4],[5,0,6,1],[8,8,4,0]]
返回值：
12

示例 2

输入：
[[1,2,3],[1,2,3]]
返回值：
7

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解题思路

动态规划

1. 定义状态：

   • 设 dp[i][j] 表示从起点到位置 (i, j) 的最小路径和。

2. 状态转移方程：

   • 只能从上方或左方移动，因此：
     [
     dp[i][j] = a[i-1][j-1] + \min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
     ]

3. 边界条件：

   • 当 (i = 1) 且 (j = 1) 时，dp[1][1] = a[0][0]。
   • 当 (i = 1) 时，只能从左方移动，dp[1][j] = dp[1][j-1] + a[0][j-1]。
   • 当 (j = 1) 时，只能从上方移动，dp[i][1] = dp[i-1][1] + a[i-1][0]。

4. 目标：

   • 计算 dp[n][m]，即从起点到终点的最小路径和。

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代码实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int minPathSum(int** matrix, int matrixRowLen, int* matrixColLen) {
    int m = matrixRowLen; // 行数
    int n = *matrixColLen; // 列数

    // 分配动态规划表
    int** dp = (int**)calloc(m + 1, sizeof(int*));
    for (int i = 0; i <= m; i++) {
        dp[i] = (int*)calloc(n + 1, sizeof(int));
    }

    // 初始化边界条件
    for (int i = 0; i <= m; i++) {
        dp[i][0] = 65535; // 初始化为一个较大的值
    }
    for (int j = 0; j <= n; j++) {
        dp[0][j] = 65535; // 初始化为一个较大的值
    }
    dp[1][1] = matrix[0][0]; // 特殊处理起点

    // 填充动态规划表
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (i == 1 && j == 1) {
                continue; // 起点已经初始化
            }
            dp[i][j] = matrix[i - 1][j - 1] + ((dp[i - 1][j] < dp[i][j - 1]) ? dp[i - 1][j] : dp[i][j - 1]);
        }
    }

    // 获取结果
    int num = dp[m][n];

    // 释放动态规划表
    for (int i = 0; i <= m; i++) {
        free(dp[i]);
    }
    free(dp);

    return num;
}

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复杂度分析

• 时间复杂度：(O(m \times n))，需要填充 (m \times n) 的动态规划表。
• 空间复杂度：(O(m \times n))，用于存储动态规划表。

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总结

• 机器人路径问题：通过动态规划计算从起点到终点的路径数。
• 矩阵最小路径和：通过动态规划计算从起点到终点的最小路径和。
• 动态规划是解决路径问题的有效方法，关键在于定义状态和状态转移方程。