相机坐标系、图像坐标系和世界坐标系

在计算机视觉和摄影测量中，相机坐标系、图像坐标系和世界坐标系是三个核心的坐标系系统，它们共同描述了从真实世界到二维图像的映射过程。以下是它们的详细解释及相互关系：

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1. 三大坐标系的定义

(1) 世界坐标系（World Coordinate System, ( \mathbf{W} )）

• 作用：描述物体在真实三维空间中的绝对位置。
• 原点：用户自定义（如场景中的某个固定点）。
• 坐标轴：通常为 ( X_w, Y_w, Z_w )（右手系）。
• 特点：
  • 所有物体和相机的位姿均基于此坐标系定义。
  • 在SLAM、三维重建中用于统一多视角数据。

(2) 相机坐标系（Camera Coordinate System, ( \mathbf{C} )）

• 作用：以相机为中心的三维坐标系。
• 原点：相机的光心（镜头中心）。
• 坐标轴：
  • ( Z_c )：沿光轴指向拍摄方向（正前方）。
  • ( X_c )：向右，与图像坐标系u轴平行。
  • ( Y_c )：向下，与图像坐标系v轴平行。
• 特点：
  • 用于描述物体相对于相机的位置。
  • 通过外参（( R, t )）与世界坐标系关联。

(3) 图像坐标系（Image Coordinate System, ( \mathbf{I} )）

• 作用：描述点在二维图像中的位置。
• 原点：图像左上角（像素坐标系）或光轴中心（归一化坐标系）。
• 坐标轴：
  • ( u )：向右（像素列方向）。
  • ( v )：向下（像素行方向）。
• 特点：
  • 最终输出为像素坐标（如 ( (u,v) )）。
  • 通过内参（( K )）与相机坐标系关联。

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2. 坐标系间的转换关系

(1) 世界坐标系 → 相机坐标系

通过**外参（Extrinsic Parameters）**转换：
[
\begin{bmatrix}
X_c \
Y_c \
Z_c \
\end{bmatrix}
= R \cdot \begin{bmatrix}
X_w \
Y_w \
Z_w \
\end{bmatrix} + t
]

• ( R )：3×3旋转矩阵（世界→相机坐标系的旋转）。
• ( t )：3×1平移向量（相机原点在世界坐标系中的位置）。

(2) 相机坐标系 → 图像坐标系

通过**内参（Intrinsic Parameters）**投影：
[
\begin{cases}
u = f_x \cdot \frac{X_c}{Z_c} + c_x \
v = f_y \cdot \frac{Y_c}{Z_c} + c_y \
\end{cases}
]

• ( f_x, f_y )：x/y方向焦距（像素单位）。
• ( c_x, c_y )：主点坐标（光轴与图像平面的交点）。

(3) 完整投影流程（世界→图像）

[
\begin{bmatrix}
u \
v \
1 \
\end{bmatrix}
= K \cdot \begin{bmatrix}
R \mid t
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
X_w \
Y_w \
Z_w \
1 \
\end{bmatrix}
]

• ( K )：内参矩阵，( [R \mid t] )：外参矩阵。

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3. 关键图示

世界坐标系 (X_w, Y_w, Z_w)|| 外参 [R|t]↓
相机坐标系 (X_c, Y_c, Z_c)|| 内参 K↓
图像坐标系 (u, v)

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4. 实际应用示例

示例1：物体检测

• 输入：图像中的像素坐标 ( (u,v) )。
• 目标：计算物体在世界坐标系中的位置 ( (X_w, Y_w, Z_w) )。
• 步骤：
  1. 通过内参反推相机坐标系下的方向（需已知深度 ( Z_c )）。
  2. 通过外参反推世界坐标。

示例2：增强现实（AR）

• 输入：已知世界坐标系中的虚拟物体坐标。
• 目标：在图像中正确渲染物体。
• 步骤：
  1. 通过外参将世界坐标转换到相机坐标。
  2. 通过内参投影到图像坐标。

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5. 常见问题

(1) 为什么需要多个坐标系？

• 解耦问题：内参描述相机本身特性，外参描述相机位姿，世界坐标描述全局环境。
• 灵活性：相机移动时只需更新外参，内参保持不变。

(2) 图像坐标系的原点在哪里？

• OpenCV默认：左上角（( u )向右，( v )向下）。
• 数学模型：光轴中心（主点 ( (c_x, c_y) )）。

(3) 如何从2D像素反推3D世界坐标？

• 单目相机需附加约束（如平面假设、多视角三角化）。
• 深度相机可直接获取 ( Z_c )（如RGB-D传感器）。

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6. 数学公式总结

转换	公式
世界→相机坐标系	( \mathbf{P}_c = R \cdot \mathbf{P}_w + t )
相机→归一化坐标系	( (x, y) = (X_c/Z_c, Y_c/Z_c) )
归一化→像素坐标系	( u = f_x \cdot x + c_x ), ( v = f_y \cdot y + c_y )

如果需要具体代码实现（如OpenCV中的坐标系转换），可以进一步说明！