线性代数基础

目录

线性代数基础

一、矩阵

（一）矩阵的基本运算

（二）矩阵的性质

二、n维向量与向量空间

三、线性方程组

（一）解的情况

（二）求解方法

四、矩阵的特征值与二次型

---

一、矩阵

矩阵是一个矩形阵列，由数字、符号或表达式排列而成，用于表示线性变换、方程组等。

（一）矩阵的基本运算

1. 加法与减法：同型矩阵才能相加减，操作为对应位置元素相加减。

2. 数乘：矩阵的每个元素分别乘以常数。

3. 乘法：矩阵相乘需前矩阵列数等于后矩阵行数，结果矩阵行数为前矩阵行数，列数为后矩阵列数。

（二）矩阵的性质

1. 转置：将矩阵的行列互换，。

2. 行列式：仅定义于方阵，反映矩阵缩放因子。

3. 秩：矩阵线性无关的行数或列数。

二、n维向量与向量空间

n维向量是n个实数的有序数组，用于表示几何向量或多维数据。

向量空间是一个向量集合，对加法和数乘封闭，需满足以下公理：

1. 封闭性：向量相加和数乘仍在空间内。

2. 零向量存在性：存在零向量使任意向量加零向量不变。

3. 逆向量存在性：每个向量都有逆向量，相加为零向量。

4. 线性组合与基：向量空间的基是一组线性无关向量，可表示空间中所有向量。

三、线性方程组

线性方程组由多个线性方程组成，用于求解多个变量的值。

矩阵形式为 Ax=b，其中A是系数矩阵，x是变量向量，b是常数项向量。

（一）解的情况

（二）求解方法

1. 高斯消元法：通过初等行变换将矩阵化为阶梯形，回代求解。

2. 矩阵求逆法：当A可逆时，x=A−1b。

3. 克莱姆法则：适用于方程个数与变量个数相同的线性方程组。

四、矩阵的特征值与二次型

矩阵的特征值和特征向量用于分析矩阵的性质和行为。

设A是n阶方阵，若存在标量λ和非零向量x，使得 Ax=λx，则λ是A的特征值，x是对应的特征向量。

二次型是一个二次多项式，表示为，其中A是对称矩阵，x是n维向量。

通过正交变换将二次型化为标准形，形式为 ​，其中λi​是矩阵A的特征值。