矩阵的秩（Rank）

矩阵的秩（Rank）是线性代数中的核心概念，表示矩阵中线性无关的行（或列）的最大数量，反映了矩阵所包含的“独立信息”的多少。以下是其核心要点：

1. 秩的定义

• 行秩：矩阵中线性无关的行的最大数量。

• 列秩：矩阵中线性无关的列的最大数量。

• 关键结论：对任何矩阵，行秩 = 列秩，统称为矩阵的秩，记作 rank(A)。

2. 秩的几何意义

• 矩阵的秩 = 矩阵对应的线性变换后空间的维度。

  • 例如，若 A 是一个 3×3 矩阵：

    • 若 rank(A)=3，变换后的空间仍是三维的（满秩）。

    • 若 rank(A)=2，变换将三维空间压缩到一个平面。

    • 若 rank(A)=1，变换将空间压缩到一条直线。

3. 秩的计算方法

(1) 高斯消元法
通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形，非零行的数量即为秩。

示例矩阵：
A = [[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9]]行阶梯形：
[[1, 2, 3],[0, -3, -6],[0, 0, 0]]  # 非零行数为2 → rank(A) = 2

(2) 行列式法（仅适用于方阵）

• 若方阵的行列式非零，则满秩（秩=阶数）。

• 若行列式为零，秩小于阶数。

(3) 奇异值分解（SVD）

• 矩阵的秩等于非零奇异值的数量（适用于任意矩阵）。

4. 秩的性质

• 秩的范围：若矩阵是m×n 的，则0≤rank(A)≤min(m,n)。

• 满秩矩阵：若 rank(A)=min(m,n)，称矩阵为满秩矩阵。

• 秩与方程组解的关系：

• 齐次方程 Ax=0：解空间的维度 = n−rank(A)（n 为变量数）。

  • 非齐次方程 Ax=b：

    • 有解 ⇨ rank(A)=rank([A∣b])。

    • 唯一解 ⇨ 系数矩阵满秩。

5. 秩的应用场景

• 数据降维：若数据矩阵秩较低，可通过主成分分析（PCA）压缩维度。

• 机器学习：低秩矩阵分解用于推荐系统（如 Netflix 算法）。

• 图像压缩：利用低秩近似减少存储空间。

• 系统可控性：控制理论中，系统是否可控可通过矩阵的秩判断。

6. 示例分析

7. 常见误区

• 行列式为零 ⇨ 秩一定不足：仅对方阵成立，非方阵无行列式。

• 行秩 ≠ 列秩：实际上两者始终相等。

• 秩与矩阵元素大小无关：秩只依赖线性相关性，与数值大小无关。

总结

矩阵的秩是衡量其“信息容量”的核心指标：

• 高秩：数据独立性强，信息丰富。

• 低秩：数据冗余度高，可压缩性强。

理解秩的概念，对分析线性方程组、数据降维、算法设计等至关重要。