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【Fifty Project - D28】

news 来源：原创 2025/5/20 11:27:03

今日完成记录

Time	Plan	完成情况
9：30 - 11：30	Leetcode	√
14：00 - 15：30	练胸	√
15：30 - 16：30	Leetcode	√
19：40 - 21：20	有氧	√

Leetcode

今天是周赛复盘篇，昨天的周赛太刺激了，最后一分钟改好了bug拿下第三题，浅浅上分了，不过说到底还是自己太菜了，昨天的难度也是明显下降了一些。
学习了0x3f大佬的周赛讲解，主要针对第三和第四题进行详细的学习。

0-1BFS

网格传送门旅游：有一个地图，目标是从左上角走到左下角，其中会有一些传送门，在图中标识为大写字母，相同的大写字母之间可以实现无费用的传送，但是一种传送门最多只能使用一次；还有一些墙“#”。每次移动可以走上下左右四个方向。求最小移动次数。
思路1：如果不看传送门，那么就是一个普通的最短路问题，结合传送门，题目给出了一种传送门只能使用一次这个限制，其实如果是计算最短路，每种传送门就应该是最多用一次，这个不能算限制，算是一个tip，使用一个status存是否使用过传送门的状态，使用过后续就不再使用。其余的就和普通的最短路是一样的（Dijstract算法）

周赛的时候也只能想到这个方法，但是这个方法复杂度高一点，因为其中用堆来选取下一步，所以复杂度是O(nlogn) 灵茶山给了一个0-1BFS的思路

思路2：传送门可以视作一个权重为0的通路，其他向相邻节点的移动则视作权重为1的通路，直接从起点BFS。和普通的bfs走迷宫（权重均为1）的区别就是，其中可以传送，传送不消耗费用，因此维护当前队列，不能一味地往队尾加下一个节点，遇到能传送的点的时候，应该直接向队头插入所有可传送的点。其中也需要用一个状态记录是否走过传送门。

树上倍增算法以及LCA

包含给定路径的最小带权子树III：题目首先给了一棵树，然后有m次查询，每次查询由三个节点组成，要求返回能联通这三个节点的最小子树的权重。如下图：最小子树是节点1、2、3、4，权重和是12
在这里插入图片描述
思路：首先思考更简单的情况，只考虑求联通两个节点的最小子图权重和，不难发现其实就是找到两个节点的最近公共祖先（Lowest common ancestor, LCA），然后计算LCA到两个节点的路径和。LCA可以用树上倍增算法求解，路径和可以使用一次dfs，计算所有节点的深度、根到节点的费用。之后计算点到LCA的路径权重只需要做一次减法即可（当前节点到根节点费用减去LCA到根节点费用），至此，简单的两个节点的情况就可以解决了。
从两个点拓展到三个点，如下图：两个点时最小子图的权重和等于LCA（2，3），三个点时（2，3，4）最小子图的权重和等于（LCA（2，3） + LCA（3，4）+ LCA（4，2））/ 2。
在这里插入图片描述

实际上，这个问题还可以拓展到联通K个节点的最小子图，结论即：最小子图权重和为绕着这k个节点走一圈的费用除以二（绕着走一圈的费用可以使用LCA求解），其中必须要满足绕一圈，也就是需要根据某种顺序进行LCA求解，如下图5个节点的情况，左边遍历顺序是5-2-3-4-0-5，右边遍历顺序是2-3-5-4-0-2，可以看出右边途中1-2段走了四次，因此在四个节点以及四个节点以上，是需要考虑遍历顺序的，也就是必须恰好不走多余路情况下绕一圈。
在这里插入图片描述

这里解释一下为什么是四个节点以及以上，三个节点为啥不用考虑顺序
因为三个节点（a,b,c）的情况下能出现的情况有a-b-c-a, b-c-a-b, c-a-b-c, a-c-b-a, b-a-c-b, c-b-a-c。其中前三个相互等价，后三个相互等价，只是起点不同。那么如果情况1（a-b-c-a）和情况4（a-c-b-a）等价，那么说明所有情况等价。情况1中走一圈的代价total = lca(a,b) + lca(b,c) + lca(c, a)，情况4中走一圈的代价total = lca(a,c) + lca(c,b) + lca(b, a)。可见两个式子相等（其中lca指的是通过lca算法计算联通这两个节点的最小代价），因为只有三个点，这六种情况其实无非对应的是顺时针走圈还是逆时针走圈，所以不会出现重复边的问题。而当点大于3个的时候，不按照一定顺序绕圈，则可能出现重复边情况。

如何得到一个不重复边的绕边方案呢？
答：使用先序遍历或者后序遍历给所有节点编号，按照编号逐个访问。