山东大学计算机图形学期末复习11——CG13上

CG13上

review

Cohen-Sutherland 线段裁剪算法

• 用途：裁剪二维线段，适用于矩形窗口。
• 核心思想：使用每个端点的 区域编码（Outcode），快速判断线段：
  • 完全在内（接受）
  • 完全在外（拒绝）
  • 部分在内（计算交点）
• 效率技巧：通过位运算判断是否需要裁剪，避免不必要的交点计算。
• 适合场景：矩形窗口裁剪。

Cyrus-Beck 线段裁剪算法

• 用途：裁剪二维线段，适用于任意凸多边形窗口。
• 核心思想：
  • 使用线段的参数方程 $P(t)=P_0+t(P_1-P_0)$
  • 对每条边计算交点参数 $t_i$，根据 法向量点积判断是进入还是离开边界。
  • 最终保留 $t\in [t_{\text{enter}},t_{\text{leave}}]$ 范围的线段。
• 优势：适用于任意凸多边形，比 C-S 更通用。
• 关键工具：向量点积判断方向。

Liang-Barsky 线段裁剪算法

• 用途：裁剪线段，优化版本的 Cohen-Sutherland。

• 核心思想：

  • 将线段写成参数形式，利用不等式裁剪：
    $$x=x_0+t\Delta x,y=y_0+t\Delta y,0\le t\le 1$$

  • 将裁剪条件转化为关于 $t$ 的不等式，然后解出 $t_{\min },t_{\max }$。

• 优势：比 C-S 更少计算，更适合浮点窗口裁剪。

Sutherland-Hodgman 多边形裁剪算法

• 用途：裁剪任意多边形（常用于多边形对矩形窗口的裁剪）。
• 核心思想：
  • 每次用一个边界裁剪多边形，将其变为新的子多边形。
  • 多边形顶点逐边送入，依据“进出判断”：
    • 输入点在边内 → 保留。
    • 边跨界 → 计算交点。
  • 一轮裁剪一条边，共进行四轮（左、右、下、上）。
• 限制：适用于凸裁剪窗口，原多边形可为任意形状。

DDA & Bresenham 线段扫描转换（光栅化）

DDA（Digital Differential Analyzer）算法

• 原理：直线方程 $y=mx+b$，每次 $x$ 增 1，$y$ 增 $m$，写入 $(x,round(y))$。
• 特点：使用浮点加法，适合简单实现，但效率稍低。

Bresenham 算法

• 原理：只用整数加法和比较，每步决定取哪一个像素（右 or 右上），避免浮点。
• 核心工具：构造 决策变量 $d$，用增量更新进行高效像素选择。
• 优势：运行快，精度高，广泛用于实际图形硬件和软件中。

光栅化知识体系详解：扫描转换、隐藏面、抗锯齿

1. 图形渲染目标回顾

本章核心目标：

1. 光栅化：多边形扫描转换算法
2. 隐藏面消除：如深度缓冲区算法
3. 抗锯齿处理：解决锯齿边缘

这些任务构成图形渲染管线中光栅化阶段的主要挑战。

2. 图形管线回顾（OpenGL 管线）

OpenGL命令 → 顶点 → 逐顶点操作 → 光栅化 → 片段 → 着色 → 帧缓冲 → 显示像素

• 光栅化（Rasterization）：输入为三角形等几何图元，输出为片段（fragments）
• 每个片段对应一个像素位置（x, y）和属性（颜色、深度、纹理坐标等）

3. 多边形扫描转换（Scan Conversion）

基本思想：

将多边形“转换”为填满像素格的区域

4. 多边形内部判断方法

4.1 奇偶规则（Odd-Even Rule）

• 从测试点向外画一条射线
• 统计与边的交点数，若为奇数 → 内部，否则为外部

4.2 缠绕数规则（Winding Number）

• 考虑边的方向（顺/逆时针）
• 点相对多边形的“绕圈次数”
  • 非零为内部，0为外部
• 更稳定、适用于自交和多环多边形

5. OpenGL 对凹多边形的处理限制

• OpenGL 默认只支持凸多边形
• 凹多边形需先细分（Tessellation）为三角形
  • 常用算法：
    • 耳切割法（Ear Clipping）
    • 约束 Delaunay 三角化（Constrained Delaunay）

6. 多边形填充的主要方法：扫描线填充算法（Scan-Line Fill）

核心思想：

对每一条水平扫描线，找出与多边形的交点，然后成对填充交点之间的像素

7. 扫描线填充算法详细流程

主要步骤：

1. 构建边表（Edge Table, ET）
   • 按y坐标排序每条边的信息：
     • ymin、ymax、x在ymin处的值、斜率的倒数（1/m）
2. 初始化活动边表（AET）
   • 当前扫描线交的边，从ET中提取加入AET
3. 对当前扫描线：
   • 计算交点：使用斜率增量法更新交点x
   • 排序交点x
   • 每两个交点间填充像素
4. 更新AET：
   • 删除无效边（当前y ≥ ymax）
   • 其余边更新x值：x += 1/m
5. 下移一条扫描线（y++）
6. 重复直到所有边处理完毕

算法系列之十二：多边形区域填充算法－－扫描线填充算法(有序边表法)-CSDN博客

8. 数据结构详解

边表（Edge Table）

ymin	ymax	x(ymin)	1/m
10	50	25.0	0.5

• 每条边插入其y最小值所在的桶（按y分组）

活动边表（AET）

• 按x排序的当前活动边
• 每次扫描线更新后计算交点用于填充

9. 扫描线填充中的奇点问题（Singularities）

常见奇点：

情况	问题
多边形顶点恰好落在扫描线上	可能被重复计数，影响奇偶判断
水平边	是否交点？不处理会导致多填或漏填
多条边交汇于一点	如何避免交点重复或遗漏？

解决方案：

• 对上端点不计交点，下端点计入交点（解决顶点重数）
• 水平边不计为交点
• 交点排序后，两两配对填充，避免重叠

10. 洪泛填充（Flood Fill）

原理：

• 从一个内部“种子点”开始，递归地向相邻像素传播填色，直到遇到边界

两种连接方式：

• 4连通（上下左右）
• 8连通（加上对角线）

缺点：

• 大面积填充时会导致栈溢出
• 填充效率不如扫描线填充

11. 扫描线洪泛填充

改进：

• 用栈或队列代替递归
• 每次填充一个线段而不是一个像素
• 比普通Flood Fill更高效

12. 像素属性插值（Gouraud填充）

• 顶点颜色 → 边上插值 → 扫描线插值
• 公式：
  若 C4 是 C1 和 C2 之间的点：
  $C_4=(1-t)\cdot C_1+t\cdot C_2$
• 优点：
  • 实现平滑颜色渐变
  • 每个像素只需一次线性插值

13. 深度测试（z-buffer）

• 每个像素记录当前最小深度值
• 渲染新片段时，若新片段更近 → 更新颜色与深度
• 解决“隐藏面问题”

14. 锯齿效应（Aliasing）

原因：

• 几何图元是连续的，像素是离散的，导致边缘呈锯齿

解决方法（抗锯齿）：

• 超采样（Super-sampling）：每像素采多个子像素
• 多重采样（MSAA）：只对边缘像素执行多重采样
• 混合边缘颜色：模糊锐利边界

图形学中的光栅化一致性与隐藏面消除完整知识体系

一、区域一致性原理（Coherence）

区域一致性（Coherence）指的是图形几何在空间和时间上具有局部规律性，可用于优化图形处理算法。

1.1 区域一致性（Region Coherence）

• 在扫描填充中，许多像素的可见性/颜色在空间上连续或相同
• 通过构建梯形结构（Trapezoid）作为多边形扫描填充的最小单位，可以成组处理像素块
• 优势：
  • 减少逐像素的判断和计算
  • 批量填充提高效率

1.2 扫描线一致性（Scan-Line Coherence）

• 邻近的扫描线之间的交点位置变化很小
• 同一个多边形在相邻扫描线上的交点数量通常保持不变（或变化规律简单）
• 用途：
  • 交点x坐标用增量更新代替每次重新计算
  • 只需在边表中维护x和斜率倒数dx（1/m）

1.3 边一致性（Edge Coherence）

• 多边形的边与连续扫描线的交点在x方向是连续变化的
• 扫描线高度变化1像素，边交点x只需加上Δx=1时的斜率变化（1/m）
• 实现方式：
  • 在活动边表中记录每条边的x值和1/m，每次扫描线更新边交点x += 1/m

二、隐藏面消除（Hidden Surface Removal）

2.1 问题定义

• 在三维场景中，多个物体可能重叠
• 观察者只能看到最前面的面
• 所以需要消除被遮挡的“隐藏面”，避免不必要的渲染

三、图像空间方法（Image-Space Approaches）

这些方法直接在像素空间判断可见性。

3.1 光线投射（Ray Casting）

• 每个像素发出一条光线，找出最先相交的物体
• 优点：直观，便于实现阴影、反射
• 缺点：每像素都要做复杂的几何求交，效率低

3.2 Z-Buffer 算法（深度缓冲）

图形硬件最常用的方法

• 每个像素记录一个“当前最近”的深度值 z
• 渲染时比较新的像素 z 值：
  • 更小（更近）→ 更新颜色和 z 值
  • 否则丢弃该片段

Z-Buffer 实现流程

1. 初始化所有 z 值为最大值（如 ∞）
2. 遍历所有图元（三角形等）
3. 对每个像素：
   • 计算其 z 值
   • 与缓冲区 z 值比较，决定是否绘制

示例说明：

• 起始：屏幕像素为背景色，z缓冲为∞
• 逐像素更新颜色和深度，直到图像完成

优势：

• 简单、通用、适合硬件并行
• 不依赖绘制顺序（不像画家算法）

四、Z 值增量计算优化

在 扫描线填充 和 Z-buffer 隐藏面消除 中，我们需要知道每个像素的 z 值（深度），判断是否被遮挡。

但如果我们每次都用方程去重新计算 z，会涉及乘除法、耗时。

所以我们希望能：
只加一个常数
就能从左一个像素的 z 值推导出右一个像素的 z 值
这就是 z 值的增量计算（Incremental Z-Calculation）

4.1 原理

• 假设多边形在三维中是一个平面：
  • 满足 $ax+by+cz+d=0$
• 对深度 z 进行增量更新：

$$a\Delta x+b\Delta y+c\Delta z=0\Rightarrow \Delta z=-\frac{a}{c}\Delta x$$

• 在扫描线上：Δy = 0，因此可简化为：

$$\Delta z=-\frac{a}{c}$$

• 即：沿扫描线水平移动一个像素，z值只需加一个常数

五、画家算法（Painter’s Algorithm）

5.1 原理：

• 将所有图形元素从远到近排序
• 后绘制的图元会覆盖前面的像素
• 类似“画家涂色”：远处先涂，近处覆盖

5.2 步骤：

1. 按 z 坐标对多边形排序
2. 依序绘制，每个新的图元可能覆盖旧图元

5.3 局限：

• 不能解决复杂重叠情况（如A挡B，B挡C，C挡A）
• 会出现“循环遮挡”问题
• 需要配合分割算法或使用 Z-Buffer 替代

六、深度排序（Depth Sort）

• 画家算法的前提：需要对图形按深度排序

6.1 排序算法：

• 一般复杂度 O(n log n)
• 对于互不遮挡的多边形，排序容易
• 若图形互相遮挡，需要分割处理或引入额外结构

七、隐藏面消除中的特殊情况分类

7.1 简单情况（Easy Cases）

• 多边形之间完全不重叠或在z方向有明显层次

• 可直接进行前后排序，简化处理

7.2 复杂情况（Hard Cases）

• 多边形在x、y、z方向都重叠
• 存在交错遮挡、嵌套结构
• 需使用更复杂算法如：
  • Z-buffer
  • 图形划分（如 BSP 树）

八、背面剔除（Back-Face Culling）

8.1 原理：

• 对于封闭的、不透明模型，其背面始终不可见
• 可通过判断法向量方向快速剔除

8.2 实现：

OpenGL 控制命令：

glEnable(GL_CULL_FACE);       // 开启剔除
glCullFace(GL_BACK);          // 剔除背面

调试渲染模式：

glPolygonMode(GL_FRONT, GL_FILL);
glPolygonMode(GL_BACK, GL_LINE); // 背面以线框显示

• 常用于调试或部分透明渲染

九、可见性测试优化（如游戏引擎中）

9.1 目标：

• 尽早剔除不可见物体，避免浪费资源

9.2 方法：BSP 树（Binary Space Partition）

• 用平面将三维空间不断划分
• 每个多边形分配给某个区域
• 渲染时根据观察者位置按顺序访问区域

9.3 示例说明：

• 多边形 A 被用作划分平面
• 将空间划分为前区（B, C）与后区（D, E, F）

十、综合算法：扫描线 + Z-buffer + Gouraud 着色

特点：

• 扫描线水平推进，每次处理一行像素
• 对每一行的像素：
  • 利用增量方式计算交点、颜色、z值
  • 在多个图形重叠时，使用 Z-buffer 判定可见性