一阶线性方程 线性方程

好的！我们一步一步详细推导一阶线性微分方程的通解公式，不跳步、不省略，每个步骤都解释为什么这样做。

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🧩 问题类型：

我们研究这种一阶线性微分方程：

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

目标：求出 $y=$ 形式的通解。

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✳️ 思路：让左边变成一个整体的导数！

我们希望把左边变成一个“整体函数的导数”，比如像这样：

$$\frac{d}{dx}[f(x)y]$$

如果能做到这一点，就能两边同时积分，从而解出 $y$。

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🔍 怎样让左边变成一个整体的导数？

设一个函数 $\mu (x)$，我们乘在方程两边：

$$\mu (x)\cdot \left(\frac{dy}{dx}+P(x)y\right)=\mu (x)Q(x)$$

展开左边：

$$\mu (x)\frac{dy}{dx}+\mu (x)P(x)y$$

我们希望这个形式变成：

$$\frac{d}{dx}[\mu (x)y]$$

❓什么时候成立？

根据乘积求导公式：

$$\frac{d}{dx}[\mu (x)y]=\mu (x)\frac{dy}{dx}+{\mu }^{\prime }(x)y$$

所以比较两边：

• 我们已经有：$\mu (x)\frac{dy}{dx}+\mu (x)P(x)y$
• 要让它变成：$\mu (x)\frac{dy}{dx}+{\mu }^{\prime }(x)y$

于是我们要求：

$${\mu }^{\prime }(x)=\mu (x)P(x)$$

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✴️ 解这个微分方程找出 $\mu (x)$

$$\frac{d\mu }{dx}=\mu (x)P(x)$$

这个是可分离变量的微分方程：

$$\frac{d\mu }{\mu }=P(x)dx\Rightarrow \int \frac{1}{\mu }d\mu =\int P(x)dx\Rightarrow \ln |\mu |=\int P(x)dx\Rightarrow \mu (x)=e^{\int P(x)dx}$$

这就是所谓的积分因子。

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🧮 回到原方程：

我们现在用这个 $\mu (x)$ 乘以原方程：

$$\mu (x)\frac{dy}{dx}+\mu (x)P(x)y=\mu (x)Q(x)$$

左边变成：

$$\frac{d}{dx}[\mu (x)y]=\mu (x)Q(x)$$

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🔚 两边积分

$$\int \frac{d}{dx}[\mu (x)y]dx=\int \mu (x)Q(x)dx\Rightarrow \mu (x)y=\int \mu (x)Q(x)dx+C\Rightarrow y=\frac{1}{\mu (x)}\left(\int \mu (x)Q(x)dx+C\right)$$

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📌 最终通解公式

$$\boxed{y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int e^{\int P(x)dx}Q(x)dx+C\right)}$$

这就是我们推导出来的一阶线性微分方程通解！

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📘 小提示（记忆技巧）：

• 积分因子是 $e^{\int P(x)dx}$
• 左边变成“乘积的导数”，积分后再除回来

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是否需要我再举一个简单的例子从头推一遍，边写边解释？这样你会更容易看明白。

非常好的问题！你问的这个：

$$\frac{d}{dx}[\mu (x)y]$$

到底是什么意思？我们来一步一步讲清楚它。

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🧠 这是什么意思？

这是一个函数乘积的导数，意思是：

$$\frac{d}{dx}[\mu (x)\cdot y(x)]$$

也就是说，$\mu (x)$ 是一个函数，$y(x)$ 也是一个函数，我们要对它们的乘积求导。

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✍️ 用“乘积法则”展开：

根据乘积求导法则（Product Rule）：

$$\frac{d}{dx}[\mu (x)\cdot y(x)]=\mu (x)\cdot \frac{dy}{dx}+\frac{d\mu }{dx}\cdot y(x)$$

也就是说：

$$\frac{d}{dx}[\mu (x)y]=\mu (x)\frac{dy}{dx}+{\mu }^{\prime }(x)y$$

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🌟 为什么我们要这样做？

因为我们的原始方程是：

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

我们通过选一个合适的 $\mu (x)$，让这个左边变成：

$$\mu (x)\frac{dy}{dx}+\mu (x)P(x)y$$

如果我们能让 ${\mu }^{\prime }(x)=\mu (x)P(x)$，那么：

$$\mu (x)\frac{dy}{dx}+\mu (x)P(x)y=\mu (x)\frac{dy}{dx}+{\mu }^{\prime }(x)y=\frac{d}{dx}[\mu (x)y]$$

这就把原来“两个项”的导数，合成成“一个整体”的导数，方便我们做积分！

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✅ 小结：

• $\frac{d}{dx}[\mu (x)y]$ 是 $\mu (x)\cdot y(x)$ 的导数。

• 展开后是：

  $$\mu (x)\frac{dy}{dx}+{\mu }^{\prime }(x)y$$

• 它表示“两个函数相乘后的导数”，不是分别对它们求导，也不是它们导数的积。

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需要我用一个具体的数值函数（比如 $\mu (x)=e^x$，$y=x^2$）来演示一下乘积导数怎么算吗？这样你会更直观。