872. 最大公约数（史上最详细讲解 7种算法,STL+算法标准实现）
一，什么是最大公约数
最大公约数（Greatest Common Divisor）指两个或多个整数共有约数中最大的一个。也称最大公因数、最大公因子，a， b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大 公约数记为（a，b，c），多个 整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种 方法，常见的有 质因数分解法、 短除法、 辗转相除法、 更相减损法。
二，辗转相减法求最大公约数（又称更相损减术）
用(a，b)表示a和b的最大公因数：有结论(a，b)=(a，k*a+b)，其中a、b、k都为自然数。
也就是说，两个数的最大公约数，将其中一个数加到另一个数上，得到的新数，其公约数不变，比如(4，6)=(4+6，6)=(4，6+2×4)=2.
要证明这个原理很容易：如果p是a和k*a+b的公约数，p整除a，也能整除k*a+b.那么就必定要整除b，所以p又是a和b的公约数，从而证明他们的最大公约数也是相等的.
基于上面的原理，就能实现我们的迭代相减法：(78，14)=(64，14)=(50，14)=(36，14)=(22，14)=(8，14)=(8，6)=(2，6)=(2，4)=(2，2)=(0，2)=2
基本上思路就是大数减去小数，一直减到能算出来为止，在作为练习的时候，往往进行到某一步就已经可以看出得值.
更相减损法出自《九章算术》：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
具体方法为两个数之间大的数字减小的数字，之后将得到的差作为减数，较小的数作为被减数，再次相减，直到与所得的差相同，此时的差即为两个数之间的最大公约数。
代码:
int gcd2(int a, int b)
{
while(a != b)
if(a > b) a -= b;
else b -= a;
return a;
}四，辗转相减到辗转相除
迭代相减法简单，不过步数比较多，实际上我们可以看到，在上面的过程中，由(78，14)到(8，14)完全可以一步到位，因为(78，14)=(14×5+8，14)=(8，14)，由此就诞生出我们的辗转相除法.
即：(a， b) = (a % b， b) = （b, a %b）
相当于每一步都把数字进行缩小，等式右边就是每一步对应的缩小结果。
对（a， b）连续使用辗转相除，直到小括号内右边数字为0，小括号内左边的数就是两数最大公约数。
时间复杂度:O(log n)（以2为底）
附，证明图:
代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,a,b;
int ggcd(int n,int m)
{
return (n == 0) ? m : f((m % n),n);
}
int main()
{
cin>>n;
while(n--)
{
cin>>a>>b;
cout<<ggcd(a,b)<<endl;
}
return 0;
}五，STL
1.__gcd(a,b)
库algorithm
在库algorithm中提供了求最大公约数的方法，这是目前我所找到的最快的算法，没有之一。具体使用方法是__gcd(a, b) 即返回了ab的最大公约数，需要注意的是gcd前面有两个下划线。
代码:
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
int t;
cin >> t;
while(t--){
int a, b;
cin >> a >> b;
cout << __gcd(a, b);
}
}=========================================================================
2.gcd(a.b)
在库numeric中提供了求最大公约数的方法，这是我提供的几种算法中最慢的，仅作扩展，如无必要，不要使用。使用方法直接就是gcd(a, b)。因此我建议各位在标记函数名称时，与此区别开来。
代码:
#include<iostream>
#include<numeric>
using namespace std;
int main()
{
int t;
cin >> t;
while(t--){
int a, b;
cin >> a >> b;
cout << gcd(a, b);
}
}六，位运算
利用位运算的特性，将两数交换改成位运算。
inline可加可不加。我实际试验中，在1e8次执行后，加与不加的时间差在80ms左右，而两者本来的运行时间均在3000ms上下，即差别不大
代码:
inline int gcd3(int a, int b)
{
while(b ^= a ^= b ^= a %= b);
return a;
}七，超快算法
利用取模特点，几乎与algorithm的时间一致
代码：
int gcd4(int a, int b){//超快
if(!a || !b)
return max(a, b);
for(int t; t = a % b; a = b, b = t);
return b;
}讲了那么多，如果听懂了的话请点个赞再走吧QAQ