数值积分知识

数值积分

对于增加插值节点序列： { x i } i = 0 n \left\{x_i\right\}_{i=0}^{n} {xi​}i=0n​，由插值定理给出：

$$f(x)=\sum _{i=0}^n{y}_i{l}_i(x)+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\prod _{i=0}^n(x-x_i)$$

对$f(x)$在区间$[a,b]$上积分得到：

$${\int }_a^{b}f(x)={\int }_a^b\left[\sum _{i=0}^n{y}_i{l}_i(x)+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\prod _{i=0}^n(x-x_i)\right]\text{d}x$$

得到结论：

对于插值型的求积公式，其截断误差为：

$$\boxed{{\int }_a^b\left(\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\prod _{i=0}^n(x-x_i)\right)\text{d}x}$$

其数值计算公式为：

$${\int }_a^b\left[\sum _{i=0}^n{y}_i{l}_i(x)\right]\text{d}x$$

更特殊地，我们对区间$[a,b]$进行等间距插值选取步长$h=\frac{b-a}{n}$,得到$n+1$个插值节点$x_i=a+ih,i=0,1,2,3,...,n$,这就对著名的柯特斯公式。

常用的数值求积公式

梯形公式

1. 公式推导：

   • 对于定积分${\int }_a^{b}f(x)dx$，将区间$[a,b]$进行$n$等分，每个小区间$[x_i,x_{i+1}]$的长度$h=\frac{b-a}{n}$，其中$x_i=a+ih$，$i=0,1,\cdots ,n$。
   • 在每个小区间$[x_i,x_{i+1}]$上，用梯形面积近似小曲边梯形的面积。梯形面积公式为$=\frac{(上底+下底)\times 高}{2}$，对于小区间$[x_i,x_{i+1}]$，上底为$f(x_i)$，下底为$f(x_{i+1})$，高为$h$。
   • 则

   $${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^{n-1}\frac{h}{2}[f(x_i)+f(x_{i+1})]=\frac{h}{2}[f(x_0)+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)]。$$

2. 误差分析：

   • 设$f(x)$在$[a,b]$上具有二阶连续导数，则梯形公式的误差$$R_T=-\frac{(b-a{)}^3}{12n^2}{f}^{\prime \prime }(\xi )$$
     其中$\xi \in (a,b)$。

辛普森公式

1. 公式推导：

   • 同样将区间$[a,b]$进行$n$等分($n$为偶数），在每个子区间$[x_i,x_{i+1}]$上，用二次函数$p(x)=A{x}^2+Bx+C$来近似$f(x)$。
   • 辛普森公式为

   $${\int }_a^{b}f(x)\text{d}x\approx \frac{h}{6}\left[f(x_0)+4\sum _{i=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{2}})+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right]$$

其中$h=\frac{b-a}{n}$

2. 误差分析：

   • 设$f(x)$在$[a,b]$上具有四阶连续导数，则辛普森公式的误差
     $$R_S=-\frac{(b-a{)}^5}{180(2n{)}^4}{f}^{(4)}(\xi )$$

其中$\xi \in (a,b)$

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习题

例

对于函数 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$，给出 $n=8$ 时的函数表，试用复合梯形公式及复合辛普森公式计算积分
$$I={\int }_0^1\frac{\sin x}{x}dx$$
并估计误差。

解

当$n=8$时，复合梯形公式得到：

$$T_n=\frac{0.125}{2}\left[f(0)+f(1)+2\times \left(\sum _{i=1}^{7}f(x_i)\right)\right]=0.9456909$$

其中$x_i=\frac{i}{8}$

同理，复合辛普森公式得到：

$$S_n=\frac{0.25}{6}\left[f(0)+f(1)+2\times \left(f(0.25)+f(0.5)+f(0.75)\right)+4\times \left(f(0.125)+f(0.325)+f(0.625)+f(0.875)\right)\right]=0.9460832$$

为了求解$f(x)=\frac{\sin x}{x}$的高阶导数：

$$\frac{\sin x}{x}={\int }_0^1\cos (xt)\text{d}t$$

由维尔斯特拉斯定理不难证明，求导与积分可以换序：

$$f^{(k)}(x)={\int }_0^1{t}^k\cos \left(xt+\frac{k\pi }{2}\right)\text{d}x$$

其上界：
$$\max f^{(k)}(x)=\max {\int }_0^1{t}^k\cos \left(xt+\frac{k\pi }{2}\right)\text{d}x\le \frac{1}{k+1}$$

得到复合梯形公式误差:

$$\left|R_8(f)\right|=\frac{1}{12}{\left(0.125\right)}^2\times \frac{1}{3}$$

得到复合辛普森公式误差:

$$\left|R_4(f)\right|=\frac{1}{180}{\left(\frac{0.25}{2}\right)}^4\times \frac{1}{5}$$