深入理解 Dijkstra 算法：原理、实现与优化

算法核心思想

Dijkstra算法采用贪心策略，其核心思想可以概括为：

1. 初始化：设置起点到自身的距离为0，到其他所有点的距离为无穷大

2. 迭代处理：

   • 从未处理的顶点中选择当前距离起点最近的顶点

   • 标记该顶点为已处理

   • 通过该顶点更新其邻居顶点的距离

3. 终止条件：所有顶点都被处理过

算法实现详解

数据结构准备

我们使用以下数据结构：

2. 主循环（进行 n-1 次，每次确定一个节点的最短路径）

初始状态：

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第一次循环（i=1）：

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第二次循环（i=2）：

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第三次循环（i=3）：

3. 最终结果

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代码问题修正

你的代码有一个小问题：

cpp

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int t = -1;  // 初始化为 -1
for (int j = 1; j <= n; j++)if (!st[j] && (t == -1 || d[j] < d[t]))t = j;
if (t == -1) break;  // 所有节点已处理或不可达

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图解流程

初始 d: [0, INF, INF]
第一次循环（t=1）：- 更新 d[2]=2, d[3]=4 → d: [0, 2, 4]
第二次循环（t=2）：- 更新 d[3]=3 → d: [0, 2, 3]
最终结果：d[3] = 3

• g[N][N]：邻接矩阵存储图的边权

• d[N]：存储从起点到各顶点的最短距离

• st[N]：标记顶点是否已被处理

• 我们以下面的图为例：

  3 3       // 3个节点，3条边
  1 2 2     // 边 1→2，权重=2
  2 3 1     // 边 2→3，权重=1
  1 3 4     // 边 1→3，权重=4

  1. 初始化

• g[N][N]（邻接矩阵）初始化为 0x3f3f3f3f（INF）。

• 输入边后，g 变为：

  g[1][2] = 2
  g[2][3] = 1
  g[1][3] = 4
  其余 g[i][j] = INF

• d[N]（最短距离数组）初始化为 INF，然后 d[1] = 0（起点到自身距离为0）。

• st[N]（标记数组）初始化为 0（未处理）。

• d = [0, INF, INF]

• st = [0, 0, 0]

• 找未处理的最近节点 t：

  • j=1：d[1]=0，st[1]=0 → t=1

  • j=2：d[2]=INF > d[1]，不更新 t

  • j=3：d[3]=INF > d[1]，不更新 t

  • 最终 t=1（节点1）。

• 标记 st[1] = 1（已处理）。

• 用节点1更新邻居：

  • j=2：d[1] + g[1][2] = 0 + 2 < INF → d[2] = 2

  • j=3：d[1] + g[1][3] = 0 + 4 < INF → d[3] = 4

  • 更新后 d = [0, 2, 4]。

• 找未处理的最近节点 t：

  • j=1：st[1]=1（已处理，跳过）

  • j=2：d[2]=2，st[2]=0 → t=2

  • j=3：d[3]=4 > d[2]，不更新 t

  • 最终 t=2（节点2）。

• 标记 st[2] = 1（已处理）。

• 用节点2更新邻居：

  • j=3：d[2] + g[2][3] = 2 + 1 = 3 < 4 → d[3] = 3

  • 更新后 d = [0, 2, 3]。

• 虽然循环条件是 i < n（即 i=1, 2），但你的代码中 i 从 1 到 n-1（共 n-1=2 次），所以不会执行第三次循环。

• d = [0, 2, 3]，所以 d[n] = d[3] = 3。

• 输出 3（即 1→2→3 的路径，权重 2+1=3，比直接 1→3 的 4 更短）。

• t 的初始值应为 -1 而不是 0，因为节点编号从 1 开始，t=0 可能导致逻辑错误（如果所有 d[j]=INF，t 会保持 0，而 g[t][j] 会访问 g[0][j]，越界）。
  修正：