FHQ平衡树

FHQ平衡树

大致是这样的题目：

您需要动态地维护一个可重集合 $M$，并且提供以下操作：

1. 向 $M$ 中插入一个数 $x$。
2. 从 $M$ 中删除一个数 $x$（若有多个相同的数，应只删除一个）。
3. 查询 $M$ 中有多少个数比 $x$ 小，并且将得到的答案加一。
4. 查询如果将 $M$ 从小到大排列后，排名位于第 $x$ 位的数。
5. 查询 $M$ 中 $x$ 的前驱（前驱定义为小于 $x$，且最大的数）。
6. 查询 $M$ 中 $x$ 的后继（后继定义为大于 $x$，且最小的数）。

对于操作 3,5,6，不保证当前可重集中存在数 $x$。

对于一颗二叉搜索树来说，确实支持上述所有操作，但是如果构造一组递增或者递减序列，那么二叉搜索树就会退化成一条链，那这样时间复杂度也就退化成了 $O(n)$ ，这显然不是我们想要的。

所以考虑平衡树，平衡树是指左右儿子大小相差不超过一的二叉搜索树。但是传统的平衡树的旋转很麻烦，所以这里采用一种无旋平衡树的实现方式。

FHQ平衡树，在每个节点不仅维护它的权值的时候，还维护一个 $key$ 值，然后我们规定除了权值需要满足 左儿子<根节点<右儿子 外，仍需满足 $key$ 值 ：根节点>左儿子 且 根节点 >右儿子。

也就是说对于权值，我们使这棵树满足二叉搜索树的性质，对于 $key$ 值，我们使这棵树满足大根堆的性质。可以证明的是，如果 $key$ 值足够随机，那么这颗树的形态就是唯一的。所以我们只需要构造 $key$ 值使得其满足随机性即可。

接下来需要掌握的前置知识是：

1. 对于一颗FHQ平衡树，如何将其分裂为 $\le v$ 和 $>v$ 的两部分。

   有点类似动态开点的思想，分裂的时候 如果当前根节点的权值 $\le v$ ，那么根节点及其左子树均可以分到左边的部分，然后递归访问其右儿子继续分即可。反之可以将根节点及其右子树分给右边的部分，然后递归访问左儿子继续分。注意：在此过程中，需要动态的修改某些节点的左右儿子，所以用传地址的方式，具体详见代码。

2. 对于两颗FHQ平衡树，如何将其合并。

   考虑到两颗树，一颗为A树（左），一颗为B树（右），必定有一颗树的根节点是总树的根节点，并且由于二叉搜索树的性质，两棵树的相对位置必定是不变的。那么如果A树的根节点的 $key$ 值 大于 B树的根节点的 $key$ 值，那么A树根节点及其左儿子是不用动的，只需要将B树放到A的右儿子上即可，但是A树的右儿子怎么办呢，我们可以让A树的右子树和B树再进行合并，实质上就是一次递归了。反之亦然。搞定！

接下来我们搞定分裂和合并了，那么插入删除以及其他操作不就解决了吗！（bushi）

1. 考虑插入权值为 $v$ 的节点：

   只需要将原树分裂成 $\le v$ 和 $>v$ 的两部分，然后新建节点，三部分按次序合并即可。

2. 删除权值为 $v$ 的节点：

   只需要分裂为 $<v、=v、>v$ 的三部分即可，如果删除权值为 $v$ 的所有节点，那么只需合并 $<v、>v$ 的部分即可，如果删除单个，那么只需要删除 $=v$ 树的根节点，即需要合并这个部分的左右子树（不合并根节点）不就相当于删除单个节点了吗。

3. 找出多少个数比 $x$ 小：

   即分裂为 $\le x$ 的部分的树的 $size$

其余的操作同理，过于简单就不说了。

FHQ实现文艺平衡树

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一个有序数列。

其中需要提供以下操作：翻转一个区间，例如原有序序列是 $54321$，翻转区间是 $[2,4]$ 的话，结果是 $52341$。

这个问题，实质上就不能按权值进行分裂了，我们可以按照树的 $size$ 进行分裂，这样是不会改变元素相对位置的。

对于一颗FHQ平衡树来说，维护有序区间只需要按次序插入即可，按 $size$ 分裂也可以随时分裂出这个序列的任何一个子区间，那么这个题目就简单了。

对于翻转 $[l,r]$ 这段区间来说，只需要先分裂出这段区间，然后由于中序遍历是可以得出这段序列的，那翻转就是将每个节点的左右子树交换即可，但是这样的时间复杂度太高，我们可以像线段树一样在每个节点上维护一个懒标记，需要的时候下传即可。

需要注意的是，每次 $split$ 以及 $merge$ 可能会改变节点的左右儿子，所以我们需要在 $split$ 和 $merge$ 前进行标记的下传。

代码：

mt19937 rnd(time(NULL));
struct node{int sz,v,key,l,r,f;node(){this->sz=this->v=this->key=this->l=this->r=this->f=0;this->key=rnd();}node(int v){this->sz=this->v=this->key=this->l=this->r=this->f=0;this->sz=1;this->key=rnd();this->v=v;}
};
struct fhq{node tr[100020];int tot=0,root=0;void pushup(int root){tr[root].sz=tr[tr[root].l].sz+tr[tr[root].r].sz+1;}void pushdown(int root){if(!tr[root].f)return ;swap(tr[root].l,tr[root].r);tr[root].f^=1;tr[tr[root].l].f^=1;tr[tr[root].r].f^=1;}void split(int root,int v,int &x,int &y){//v分裂if(!root){x=y=0;return ;}pushdown(root);if(tr[root].v<=v){x=root;split(tr[root].r,v,tr[root].r,y);}else {y=root;split(tr[root].l,v,x,tr[root].l);}pushup(root);}void split_sz(int root,int v,int &x,int &y){//sz分裂if(!root){x=y=0;return ;}pushdown(root);if(tr[tr[root].l].sz+1<=v){x=root;split(tr[root].r,v-(tr[tr[root].l].sz+1),tr[root].r,y);}else {y=root;split(tr[root].l,v,x,tr[root].l);}pushup(root);}int merge(int x,int y){if(!x||!y)return x|y;if(tr[x].key<tr[y].key){pushdown(x);tr[x].r=merge(tr[x].r,y);pushup(x);return x;}// else {pushdown(y);tr[y].l=merge(x,tr[y].l);pushup(y);return y;// }}void insert(int v){int x,y;split(this->root,v-1,x,y);tr[++tot]=node(v);this->root=merge(merge(x,tot),y);}void del(int v){int x,y,z;split(this->root,v-1,x,y);// x [1,v-1]split(y,v,y,z);// y [v,v] z [v+1,n]// 删除单个vthis->root=merge(x,merge(tr[y].l,tr[y].r));this->root=merge(this->root,z);}int find_min(int v){//查询<v的个数int x,y;split(this->root,v-1,x,y);int ans=tr[x].sz;this->root=merge(x,y);return ans;}int find_xth(int x){//查询排名第x位的数int now=this->root;while(now){if(tr[tr[now].l].sz+1==x)return tr[now].v;if(tr[tr[now].l].sz+1>x){now=tr[now].l;}else {x-=tr[tr[now].l].sz+1;now=tr[now].r;}}return -1; // 无}int find_pre(int v){// 找小于v最大的int x,y;split(this->root,v-1,x,y);int now=x;while(tr[now].r)now=tr[now].r;this->root=merge(x,y);return tr[now].v;}int find_suf(int v){// 找大于v最小的int x,y;split(this->root,v,x,y);int now=y;while(tr[now].l)now=tr[now].l;this->root=merge(x,y);return tr[now].v;}void reverse(int l,int r){int x,y,z;split(this->root,l-1,x,y);// x [1,l-1]split(y,r-l+1,y,z);// y [l,r]  z [r+1,n]tr[y].f^=1;this->root=merge(merge(x,y),z);}void print(int root){if(!root)return ;pushdown(root);print(tr[root].l);cout<<tr[root].v<<' ';print(tr[root].r);}
}T;