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状态压缩动态规划：用二进制“魔法”破解组合难题

news 2025/7/2 19:05:51

在算法的世界里，动态规划（DP）一直是解决最优化问题的利器。而状态压缩动态规划（State Compression DP），作为动态规划的进阶技巧，更是以其独特的“二进制魔法”，为处理组合优化问题开辟了一条高效之路。本文将带你深入探索状态压缩DP的奥秘，结合经典案例与代码实现，揭开它神秘的面纱。

一、什么是状态压缩动态规划？

动态规划的核心在于将问题分解为子问题，并通过记录子问题的解来避免重复计算。而状态压缩动态规划，则是在这一基础上，针对集合类问题进行优化。当问题涉及到对一个小规模集合（通常元素个数n ≤ 20）的所有子集进行枚举和决策时，我们可以利用二进制数将集合状态压缩成一个整数，每一位代表一个元素的存在与否（1表示存在，0表示不存在），从而高效地进行状态表示和转移。

例如，对于一个包含4个元素的集合{a, b, c, d}，二进制数1011就表示子集{a, c, d}，其中第0、2、3位为1，对应元素a、c、d被选中。这种用二进制压缩状态的方式，极大地简化了集合操作，让我们可以通过位运算快速枚举子集、计算状态转移。

二、状态压缩DP的核心要素

1. 状态定义

核心数组：通常定义一个数组（如dp[mask]），其中mask是二进制数，表示集合状态。dp[mask]记录状态mask下的最优值（如最小代价、最大收益）。
扩展形式：有时会增加维度，例如dp[mask][i]，表示集合状态为mask且最后一个元素为i时的最优值。

2. 位运算技巧

位运算是状态压缩DP的“灵魂”，常用操作如下：

检查元素是否在集合中：mask & (1 << i)，若结果不为0，则元素i在集合中。
添加元素到集合：mask | (1 << i)，将元素i加入集合。
移除元素：mask & ~(1 << i)，从集合中删除元素i。
枚举子集：

for (int sub = mask; sub > 0; sub = (sub - 1) & mask) {// 处理子集sub
}

3. 状态转移

正向转移：从已知状态dp[mask]出发，通过添加或修改元素，更新到新状态dp[newMask]。
反向转移：从目标状态dp[mask]出发，由所有可能的前驱状态dp[oldMask]推导而来。

4. 初始化与结果计算

初始化：根据问题设定边界条件，例如dp[0] = 0表示空集状态。
结果提取：遍历所有合法状态，找到满足条件的最优解。

三、经典案例解析

案例1：旅行商问题（TSP）

问题描述：一个商人需要访问n个城市，每个城市之间有一个距离，求从起点出发，经过每个城市恰好一次并返回起点的最短路径。
状态定义：dp[mask][i]表示经过集合mask中的城市，当前位于城市i的最短路径长度。
状态转移方程：

for (int mask = 1; mask < (1 << n); mask++) {for (int i = 0; i < n; i++) {if (!(mask & (1 << i))) continue;  // i不在mask中for (int j = 0; j < n; j++) {if (i == j || !(mask & (1 << j))) continue;  // j不在mask中dp[mask][i] = min(dp[mask][i], dp[mask ^ (1 << i)][j] + dist[j][i]);}}
}

时间复杂度：O(2^n × n^2)
暴力做法是枚举所有排列，对每个排列计算和题目有关的值，时间复杂度（通常来说）是 O(n!)。可以解决 n≤10 的问题。

状压 DP 可以把时间复杂度（通常来说）优化至 O(n*2^ n )。可以解决 n≤20 的问题。

案例2：集合覆盖问题

问题描述：给定n个元素和m个可选集合，每个集合包含部分元素，求覆盖所有元素的最小集合数量。
状态定义：dp[mask]表示覆盖集合mask所需的最小集合数量。
状态转移方程：

for (int i = 0; i < m; i++) {  // m个可选集合int subset = 集合i的元素掩码;for (int mask = (1 << n) - 1; mask >= 0; mask--) {dp[mask | subset] = min(dp[mask | subset], dp[mask] + 1);}
}