高斯过程回归（GPR）原理的通俗解释

什么是高斯过程回归？

高斯过程回归（Gaussian Process Regression, GPR）是一种基于概率的回归方法，它不像传统回归模型（如线性回归）那样直接拟合一个固定函数，而是通过概率分布来描述所有可能的函数形式，并给出预测结果的不确定性。
本质上是通过数学公式，综合先验数据集，来对未知数据进行预测，并没有类似于深度学习的训练过程（正向反向传播），当然，我们也可以通过这种方式来优化核函数的超参数，但是一般意义下的高斯过程回归是没有训练环节的
如果把高斯过程回归当作一个黑箱，其效果就是：
输入已知的数据集（包含系统的输入X输出Y），再提供新的输入X*，黑箱输出对应Y*的高斯分布（概率密度函数）

RBF线性回归是高斯过程回归的一种特例

通俗类比：
假设你有一个黑盒子，输入是某个变量（比如温度），输出是另一个变量（比如湿度）。你想知道输入和输出之间的关系，但黑盒子内部的规律未知。

• 传统方法会直接拟合一条曲线（比如直线或多项式），作为最佳猜测。
• GPR则认为：所有可能的曲线都有可能存在，但某些曲线更合理（比如更平滑）。它会给出一个“概率分布”，告诉你哪些曲线更可能，哪些不太可能，并基于这些可能性给出预测结果。

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举个栗子 🌰

假设你想预测某个城市的气温随时间的变化：

• 数据：过去一周每天中午的气温（7个点）。
• GPR的处理：
  1. 假设气温变化是平滑的（用RBF核）。
  2. 根据已知的7个点，计算所有可能曲线的概率分布。
  3. 对于明天的气温，GPR会给出一个预测值（比如25°C）和一个置信区间（比如23°C~27°C）。

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核心思想

高斯过程（Gaussian Process, GP）是GPR的理论基础。它把函数看作一个无限维的正态分布，即：

• 任意有限个输入点对应的输出值服从多维正态分布。
• 这些点之间的相关性由 核函数（Kernel） 决定。

通俗理解：

• 假设你想预测某个地点的温度，已知附近几个点的温度。
• 核函数会告诉你：“离得越近的点，温度越相似”（比如用“高斯核”来量化这种相似性）。
• 有了核函数，GPR就能根据已知数据点，推断出所有可能的温度分布，并给出最可能的预测值和不确定性范围。

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三个关键步骤

（1）先验分布：定义函数的“可能性”

在没有任何数据之前，GPR假设所有可能的函数都符合某种“先验”规律。

• 均值函数：通常设为0，表示在没有数据时，默认函数值围绕0波动。
• 核函数：决定函数的平滑性和形状。例如：
  • RBF核（径向基函数）：类似高斯函数，假设输出值随输入距离的增加而指数衰减相关性。
  • 马特恩核：允许更灵活的平滑性调整。

先验就像你对黑盒子的“初始猜测”——比如你认为温度变化应该是平滑的，而不是突然跳跃的。

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（2）后验分布：结合数据更新先验

当观测到一些数据点（输入-输出对）后，GPR会用贝叶斯定理更新先验分布，得到后验分布。

• 后验分布描述了：在已知数据的条件下，所有可能函数的概率分布。
• 对于新的输入点，GPR会给出一个预测值（均值）和不确定性（标准差）。

你测量了几个点的温度，发现某些位置的温度特别高。GPR会调整之前的猜测，认为这些高温点附近的区域也可能温度偏高，但不确定性会随着距离增加而增大。

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（3）预测：给出结果和不确定性

对于一个新的输入点 $x_{\ast }$，GPR会计算:

• 预测均值：最可能的输出值。
• 预测方差：不确定性（方差越大，说明预测越不可靠）。

公式简化版：
$$\text{预测值}=K(x_{\ast },X)\cdot [K(X,X)+{\sigma }_n^{2}I{]}^{-1}\cdot y$$
其中：

• $K(X,X)$ 是训练数据点之间的相似性矩阵（核函数计算）。
• $K(x_{\ast },X)$ 是新点与训练数据点的相似性向量。
• ${\sigma }_n^2$ 是噪声的方差（假设观测数据有噪声）。

预测值是已知数据点的加权平均，权重由新点与每个数据点的相似性决定。越相似的点，对预测的影响越大。

常规协方差矩阵求解方法
中心化后的矩阵 $X^{\prime }$，其中 $x_{ij}^{\prime }=x_{ij}-{\mu }_j$，$x_{ij}$为原矩阵元素，${\mu }_j$为特征$j$的均值。确保协方差计算仅基于数据偏离均值的部分。
$C\in {\mathbb{R}}^{p\times p}$ 的元素 $c_{kl}$ 表示第 $k$ 个特征与第 $l$ 个特征的协方差：
$$c_{kl}=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_{ik}^{\prime }\cdot x_{il}^{\prime })$$
通常采用无偏估计（分母为 $n-1$），总之，协方差矩阵是衡量两个向量的差异，其元素由任意两个特征偏差计算而来

但在GPR中，我们通常使用核函数求对应的协方差矩阵（Moore-Aronszajn定理证明了该方式的合理性），这让我们可以跳过繁琐的求解过程，将两个向量（样本）代入核函数，即可直接得到对应的协方差矩阵

但是理解常规的解法，有助于我们理解协方差的本质，且更具有泛用性
完整公式分析可以看这篇博客，讲的确实不错

通常我们只需要站在巨人的肩膀上，直接用就好了，证明公式对不对，不是我需要考虑的事，我们只需要筛选正确信息即可（做控制已经很累了，再学泛函分析真没时间）

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优

1. 无需假设函数形式：不像线性回归需要提前假设是直线还是曲线，GPR通过核函数自动适应数据的复杂性。
2. 提供不确定性估计：不仅给出预测值，还能告诉你预测的可信度（比如误差范围）。
3. 小样本友好：即使数据量少，也能通过核函数捕捉数据间的潜在关系。
4. 灵活性强：通过选择不同的核函数，可以适应周期性、平滑性、非线性等不同类型的规律。

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劣

1. 计算复杂度高：当数据量很大时（比如上万点），矩阵求逆的计算量会非常大（时间复杂度 $O(n^3)$）。
2. 核函数选择依赖经验：核函数的选择和参数调优对结果影响很大，需要一定的领域知识。
3. 不适合高维输入：输入特征维度很高时（比如图像），核函数的效果可能下降。

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应用场景

1. 时间序列预测：比如股票价格、天气预测，利用历史数据预测未来值及其波动范围。
2. 机器人路径规划：在未知环境中，预测传感器数据并评估路径的安全性（不确定性）。
3. 电池SOC估计：根据电压、电流等输入，预测电池的剩余电量（如知识库中的锂电池案例）。
4. 超参数调优：在机器学习中，GPR常用于贝叶斯优化，寻找最优的模型超参数。

总结

高斯过程回归（GPR）是一种强大的概率模型，它的核心思想是：

“我不知道真实函数长什么样，但我知道它可能符合某种规律（核函数），并根据观测数据不断修正猜测。”

如果你需要模型不仅给出预测值，还能告诉你“有多确定这个预测”，那么GPR是一个不错的选择