2025数维杯数学建模A题完整论文模型代码：空中芭蕾

2025数维杯数学建模A题完整论文模型代码

A题完整论文

一、问题重述

1.1 问题背景

2025 年第十届数维杯大学生数学建模挑战赛 A 题聚焦于“空中芭蕾”——蹦床运动的力学行为分析。蹦床运动宛如一场在空中绽放的舞蹈，运动员凭借蹦床的神奇反弹力，在空中尽情展示各种令人惊叹的技能技巧，这一运动隶属于体操项目，有着“空中芭蕾”的美誉。

在蹦床运动的奇妙旅程中，运动员的起跳、腾空与下落等每一个动作，都与蹦床的力学行为紧密相连，就如同舞者与舞台的完美融合。同时，蹦床那独特的弹性恢复性能，对运动员的精彩表现起着举足轻重的作用。深入剖析蹦床的力学行为和弹性恢复性能，不仅能够助力运动员优化技术动作，有效降低受伤风险，制定科学合理的训练方法，从而提升竞技水平，还能为蹦床设备的设计提供坚实的力学依据，推动蹦床运动全方位的发展与广泛推广。

现代蹦床赛事中的蹦床，宛如一个精心打造的力学舞台。弹床内部整齐排列着 112 个弹簧，框架长 5.050 米，宽 2.910 米，高 1.15 米，而网长 4.028 米，宽 2.014 米。在这个舞台上，每位参赛队员都需在蹦床中心完成 1 套规定动作和 2 套自选动作，向观众展示力与美的结合。

蹦床运动过程恰似一部三部曲，可清晰地划分为三个基本阶段：

• 下落接触并压缩阶段：运动员如自由落体般从空中优雅下落，轻轻触碰蹦床表面后，便开启了压缩蹦床的进程。此时，运动员仿佛置身于两种力量的拔河比赛中，向上的弹力与向下的重力相互抗衡。随着压缩程度的不断加深，弹力如同逐渐积蓄力量的弹簧，逐渐增大，直至与重力势均力敌。
• 舒张并脱离阶段：当弹力与重力达到平衡的瞬间，运动员的速度犹如疾驰的列车，达到最大值，随后开始缓缓减速。随着运动员继续向下移动，弹力如同脱缰的野马，超过重力，运动员便如同被弹簧弹出一般，开始向上弹起，与此同时，蹦床也开始慢慢舒张，准备迎接下一次的挑战。
• 上升阶段：运动员脱离蹦床的怀抱后，继续向着天空攀升，直至抵达最高点。在这个过程中，运动员只感受到重力这位“老朋友”的陪伴，因为此时已经与蹦床暂时告别。

在这场与蹦床的亲密互动中，运动员们掌握着一些独特的秘诀，以获取最佳竞技效果：

• 起跳时机：运动员在接触蹦床的刹那，就如同敏锐的猎手捕捉最佳时机，通过巧妙地调整腿部力量和身体姿态，在最合适的瞬间发力，从而获得更大的反弹力，如同火箭点火升空，为后续的精彩表演奠定基础。
• 身体姿态控制：在空中，运动员宛如灵动的飞鸟，通过改变身体的姿态，如伸展或蜷缩，来巧妙调整自己的重心和空气阻力，进而精准影响反弹的高度和方向，在空中绘制出优美的轨迹。
• 动作连贯性：连续的翻腾和转体动作就像链条上紧密相连的环节，帮助运动员维持动量，通过多次小的反弹如同积累能量的珍珠，逐渐累积高度，为观众呈现出一场精彩绝伦的视觉盛宴。
• 利用蹦床特性：运动员们深知蹦床的弹性特性，如同熟悉自己亲密伙伴的性格，在接触点和反弹点的选择上精心调整，以达到最佳的反弹效果，实现与蹦床的完美协作。

为了更深入地探索蹦床运动的奥秘，我们可以将运动员看作是由多段刚体巧妙组成的系统。运动员通过主动施加蹬伸力，如同为系统注入强大的动力，产生初始动能，从而顺利完成后续一系列复杂而精彩的动作。

1.2 基本概念

• 疲劳损伤：想象机械原件如同一位辛勤工作的劳动者，在循环应力这位“监工”的不断驱使下，由于材料疲劳极限的反复施压，最终导致的破坏现象。它主要受到应力幅值与循环次数、应力集中、材料特性以及环境等诸多因素的共同影响，就像劳动者的工作效率受到工作强度、工作环境等多种因素制约一样。
• 疲劳寿命：原件在疲劳破坏前所经历的应力循环数，就如同劳动者在过度劳累倒下之前所经历的工作周期，是衡量原件耐久性的重要指标。
• 垂直刚度系数：在垂直方向上，当给物体施加单位力时，物体产生的变形量的倒数，它如同物体在垂直方向上抵抗变形的坚固盾牌，描述了物体在垂直方向上抵抗变形的能力。
• 前空翻：这是蹦床运动中令人瞩目的高难度动作，宛如空中的华丽转身。它通过助跑、甩臂起跳、团身翻转、落地四个精彩阶段完美呈现，其核心在于锻炼运动员腾空后的制空能力，以及腰腹及脊柱之间的精妙协调性，如同在空中演绎一场优美的舞蹈。
• 蹬伸力：在运动过程中，双脚对接触面施加的作用力，就像火箭发射时的强大推力，在蹦床运动中起着决定性作用，直接决定了运动员的起跳高度和动作完成质量。
• 腿长：从髋关节到踝关节的长度，它如同杠杆的力臂，在蹦床运动中对发力效果产生重要影响。

1.3 相关资料

• 2008 年北京奥运会蹦床视频：2008 年北京奥运会中国“第 38 金”-女子蹦床决赛，何雯娜夺金 - 体育视频 - 搜狐视频 (sohu.com)，通过观看这段精彩视频，我们仿佛能身临其境，感受运动员在空中的精彩表现，为我们的研究提供了生动的现实素材。
• 蹦床——运动员各阶段受力情况及速度大小分析：https://m.ixigua.com/video/7027812129524679204，这个链接为我们深入剖析运动员在蹦床运动各阶段的力学情况提供了详细的资料，如同为我们打开了一扇了解蹦床力学奥秘的窗户。
• 参考文献：
  • [1] 高南.蹦床运动员触网阶段双脚距离对踝关节负荷的影响 [D].北京：首都体育学院,2024，该文献聚焦于蹦床运动员触网阶段的细节，为我们研究运动员在该阶段的力学行为提供了专业的视角。
  • [2] 陈静. 蹦床运动员网面垂直起跳动作的多刚体建模分析 [D].太原：太原理工大学, 2016，此文献为我们建立运动员起跳动作的多刚体模型提供了重要的参考依据。
  • [3] 王慧,井伟川,赵国超,等 基于灰色系统模型 GM(1,1)改进 Miner 准则的液压支架底座疲劳寿命预测[J].上海交通大学学报, 2020.54(1): 106 - 110，该文献介绍的改进 Miner 准则为我们预测蹦床的疲劳寿命提供了有力的理论支持。
  • [4] 陈景杰,黄一,李玉刚.考虑疲劳载荷相互影响的修正的 Miner 准则研究[J]. 中国造船 2014, (3):36 - 42，进一步深化了我们对修正 Miner 准则的理解，有助于我们更准确地分析蹦床的疲劳损伤。

1.4 赛题声明

本赛事所有赛题仅授权 2025 年第十届数维杯数学建模挑战赛参赛队伍使用，任何组织及个人未经组委会书面授权，严禁用于校内竞赛、篡改、复制等侵权行为。这就如同给赛题披上了一层保护衣，确保其在本次赛事中的唯一性和权威性。

1.5 表格数据

表格中详细记录了运动员的基本参数及位置，包括运动员编号、性别、身高、腿长、体重、站立位置（x, y）、重心位置距离地面高度、所在位置蹦床垂直刚度系数。这些数据就像一把把钥匙，为我们打开了深入研究蹦床运动力学行为的大门，为后续问题的分析提供了坚实的基础。

1.6 提取的各项问题

• 问题 1：比赛中，某身高 1.75 米运动员（其他参数见附表 1）按规定完成一个完整的“前空翻”动作。这就好比要解开一道神秘的力学谜题，我们需要分析运动员在起跳瞬间为完成该动作的发力方向、大小以及发力与身体姿态的关系，建立相应的模型，并运用数值模拟的方法对模型合理性进行验证，如同为这道谜题找到精确的答案。
• 问题 2：此问题如同一场在空中和地面展开的力学之旅，我们要分析运动员从蹦床起跳后在空中飞行和落地过程中的受力情况，建立运动员从起跳到落地的动力学方程，确定运动员落地时的速度和受力情况。在不考虑运动员重心前提下，进一步探讨如何通过调整起跳高度和落地姿势来减少落地时的冲击力。假设运动员在空中达到最高点后开始下落，下落时需考虑空气阻力对运动员的影响以及落地瞬间蹦床的弹性恢复特性这两个重要因素，如同在旅程中考虑各种路况和障碍，找到最平稳的路径。
• 问题 3：若多名运动员同时进行蹦床运动，这就构建了一个复杂的力学场景。我们需要建立包含多人体重和起跳时间等变量的动力学方程，分析不同条件下蹦床的受力情况和疲劳损伤程度。考虑多个运动员的体重分布（见附表 1）、起跳时序（所有人必须在出现落地者之前起跳）等因素，给出一种使得蹦床疲劳损伤最小的策略，并对采用所提出策略前后蹦床的疲劳寿命提升效果进行预测，如同为这个复杂场景制定一套高效的运行规则，让蹦床能够更持久地为运动员服务。

二、问题分析

2.1 解释数据作用和意义

• 问题 1：表格中的数据对于问题 1 的研究而言，犹如搭建高楼大厦的基石。运动员的身高、体重、腿长等数据蕴含着丰富的力学信息。身高和体重直接决定了运动员的质量属性，在依据冲量定理 (F_{\text{蹬}}\Delta t = m\Delta v_z) 计算蹬伸力大小时，体重 (m) 无疑是关键参数，就像计算火箭推力时，火箭的质量是重要考量因素一样。腿长则与蹬伸力臂紧密相关，影响着起跳瞬间的发力效果，如同杠杆的力臂影响着杠杆的作用效果。站立位置对应的蹦床垂直刚度系数，如同蹦床的弹性密码，会影响弹性势能的大小，进而影响运动员起跳时获得的能量。例如，运动员 1 所在位置蹦床垂直刚度系数为 4951.05 N/m，不同的刚度系数会使运动员在起跳时感受到不同的弹力，就像在不同弹性的弹簧上起跳，从而影响起跳的垂直速度和能量分配。
• 问题 2：虽然表格数据没有直接参与问题 2 动力学方程的构建，但问题 1 中基于表格数据精心计算出的起跳速度和角速度等初始条件，却是问题 2 动力学方程的起点，如同接力赛中的交接棒，为后续的分析奠定基础。同时，运动员的体重在分析落地时的受力情况以及根据牛顿第二定律建立运动方程 (m \ddot{y} = -mg - F_{\text{air}}) 中扮演着关键角色，就像在分析物体运动受力时，物体的质量是不可或缺的因素。
• 问题 3：表格中的多运动员体重分布和站立位置对应的蹦床垂直刚度系数堪称问题 3 的核心数据。体重 (m_i) 用于计算位置权重 (w_i = m_i k_i / \sum m_i k_i)，如同为每个运动员在蹦床上的影响程度赋予一个权重值。而蹦床垂直刚度系数 (k_i) 则在多体动力学叠加原理 (F_{\text{总}} = \sum_i k_i y_i(t - t_i)) 中用于计算总弹性力，就像计算合力时各个分力的贡献。起跳时序 (t_i) 虽未直接在表格中呈现，但结合体重和刚度系数等数据，可用于深入分析不同条件下蹦床的受力情况和疲劳损伤程度，如同在复杂的力学系统中，各个因素相互配合，共同影响着最终的结果。
• 数据处理方法：
  • 数据清洗：首先要对表格数据进行全面细致的检查，确保数据的完整性和准确性，就像检查一座大厦的基石是否稳固。核实身高、体重等数据是否在合理范围内，若发现某个运动员的体重数据异常大或小，需进一步核实或修正，如同排查大厦基石中的不稳定因素。
  • 数据转换：将运动员的站立位置（x, y）转换为便于计算的坐标形式，以便在后续的模型中灵活运用，就像将不同语言的信息转化为通用语言，方便交流。对于重心位置距离地面高度数据，若存在“左右”等模糊表述，可根据实际情况进行合理的取值或范围界定，如同给模糊的信息划定清晰的边界。
  • 数据抽样：在本问题中，由于运动员数量较少（仅 5 名），一般无需进行数据抽样，就像一个小团队，每个人都能被充分关注。但如果后续有更多运动员的数据，可以根据研究目的和实际情况，采用随机抽样或分层抽样等方法选取部分数据进行分析，以提高计算效率，如同在众多信息中筛选出关键部分，提高工作效率。

2.2 前后问题的整体逻辑

• 问题 1：作为整个问题链条的坚实基础，问题 1 深入分析了运动员在起跳瞬间为完成前空翻动作的发力方向、大小以及发力与身体姿态的关系，精心建立的模型确定了起跳瞬间的速度和角速度等初始条件。这些初始条件就像为后续旅程开启的大门钥匙，直接为问题 2 中建立运动员从起跳到落地的动力学方程提供了起点。若问题 1 的结果不准确，问题 2 的动力学方程将如同建立在沙滩上的城堡，缺乏稳固的根基。
• 问题 2：问题 2 紧密建立在问题 1 的基础之上，通过深入分析运动员在空中飞行和落地过程中的受力情况，建立动力学方程，精准确定了运动员落地时的速度和受力情况。而运动员落地时的冲击力分析结果，又如同为问题 3 输送的关键物资，为多运动员运动时蹦床的疲劳损伤分析提供了单次冲击的力学输入。若问题 2 对落地冲击力的分析出现偏差，问题 3 中蹦床疲劳损伤程度的计算也将随之出现错误。
• 问题 3：问题 3 巧妙综合了问题 1 和问题 2 的模型，如同将不同的拼图碎片完美拼接。问题 1 提供了单个运动员的起跳力学模型，问题 2 提供了单个运动员落地时的力学模型，问题 3 通过叠加多运动员的力学作用，全面分析蹦床的受力和疲劳损伤程度，并制定使蹦床疲劳损伤最小的策略。可以说，问题 3 是在前两个问题的基础上，对多运动员协同运动场景下蹦床力学行为的深度综合分析和优化，如同在复杂的交响乐中，各个乐器相互配合，共同演奏出和谐的乐章。

2.3 问题一分析

• 起源与发展：蹦床运动作为一项充满挑战与魅力的竞技运动，前空翻这一高难度动作无疑是其中的璀璨明珠，其完成质量直接关乎运动员的竞技成绩。在激烈的比赛中，运动员需要如同精准的钟表匠，精确控制起跳瞬间的发力，以获取足够的垂直速度和旋转速度，从而完美完成前空翻动作。因此，深入分析起跳瞬间的发力方向、大小以及发力与身体姿态的关系，对于优化运动员的技术动作、提升竞技水平具有不可估量的重要意义。该问题的发展历程，是从对蹦床运动的实际需求出发，如同探险家在未知领域探索，逐步深入到对起跳力学行为的理论研究和模型建立。
• 与其他问题的内在联系：问题 1 与其他问题紧密相连，它为问题 2 提供了起跳瞬间的速度和角速度等关键初始条件，是问题 2 动力学方程的起点，如同为后续旅程指明方向的灯塔。同时，单个运动员的起跳力学模型是问题 3 中多运动员起跳情况叠加的基础，若问题 1 的模型存在偏差，问题 2 和问题 3 的分析结果也将受到严重影响，就像一座大厦的底层结构出现问题，上层建筑也将摇摇欲坠。
• 解答思路：
  • 影响因素：
    • 蹬伸力大小：蹬伸力宛如运动员起跳时垂直方向的强大引擎，它决定了运动员获得的垂直动能。蹬伸力越大，运动员获得的垂直速度越大，起跳高度也就越高，如同火箭的推力越大，火箭飞得越高。
    • 甩臂力矩：甩臂动作如同在空中挥舞的魔法棒，可以产生角动量，使运动员在空中获得旋转速度。甩臂的力度和速度会影响角动量的大小，进而影响翻转的角速度，就像调整陀螺的旋转力度，会改变陀螺的转速。
    • 身体姿态：身体姿态的变化如同神奇的变形术，会导致转动惯量的改变。起跳时身体伸展可以增大蹬伸力臂，增加蹬伸力的效果；团身时转动惯量减小，根据角动量守恒定律，角速度会增加，有助于完成翻转动作，如同舞者通过调整身体姿态，展现出不同的舞蹈效果。
    • 站立位置：不同的站立位置对应着不同的蹦床垂直刚度系数，刚度系数如同蹦床的弹性密码，影响弹性势能的大小。运动员站在刚度系数较大的位置，起跳时可以获得更多的弹性势能，从而增加起跳的能量，就像在弹性更好的弹簧上起跳，能获得更大的弹力。
  • 理论基础：
    • 冲量定理：(F_{\text{蹬}}\Delta t = m\Delta v_z)，其中 (F_{\text{蹬}}) 是蹬伸力，(\Delta t) 是蹬伸时间，(m) 是运动员的质量，(\Delta v_z) 是垂直方向的速度变化。通过该定理，我们可以像解开数学谜题一样，计算出蹬伸力的大小。
    • 角动量守恒：(L = I\omega = \sum r_i \times p_i)，其中 (L) 是角动量，(I) 是转动惯量，(\omega) 是角速度，(r_i) 是质点到旋转轴的距离，(p_i) 是质点的动量。甩臂动作产生的角动量在整个前空翻过程中守恒，可用于计算翻转的角速度，如同在一个稳定的系统中，遵循着特定的规律运行。
    • 多刚体动力学：拉格朗日方程描述关节力矩与运动关系。将运动员看作多段刚体组成的系统，通过拉格朗日方程可以建立各关节力矩与运动员整体运动状态之间的关系，从而更准确地描述运动员的起跳动作，如同为运动员的复杂动作建立了一个精确的数学模型。
  • 核心变量：
    • 垂直速度 (v_z)：决定了运动员的起跳高度，是完成前空翻动作的重要参数，如同火箭的飞行高度取决于其初始速度。
    • 翻转角速度 (\omega)：影响运动员在空中的翻转速度，对于完成完整的前空翻动作至关重要，就像旋转木马的转速决定了乘客的体验。
    • 转动惯量 (I)：团身时 (I_{\text{min}} \approx 3.2\ \text{kg·m}^2)，伸展时 (I_{\text{max}} \approx 8.5\ \text{kg·m}^2)。转动惯量的变化会影响角速度的大小，是能量分配的关键因素，如同在一个能量系统中，不同的分配方式会产生不同的效果。
  • 约束条件：
    • 能量约束：(\frac{1}{2}mv_z^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 \leq E_{\text{input}})，其中 (E_{\text{input}}) 是运动员输入的总能量。该约束条件保证了运动员在起跳瞬间的能量分配合理，不会超过其自身的能量极限，如同给运动员的能量使用设定了一个上限，避免过度消耗。
    • 动作完成度：(\omega t_{\text{air}} \geq 2\pi)，其中 (t_{\text{air}}) 是运动员在空中的时间。该约束条件确保运动员在空中能够完成至少一圈的翻转，满足前空翻动作的要求，如同为运动员在空中的表演设定了一个基本标准。
  • 模型构建：
    • 建立多刚体模型，将运动员分为躯干、大腿、小腿、足 4 段刚体，通过关节连接。每个刚体具有质量、转动惯量等属性，关节具有自由度和力矩，如同搭建一个复杂的机械模型，每个部件都有其特定的功能。
    • 根据拉格朗日方程 (L = T - V)（其中 (T) 是系统的动能，(V) 是系统的势能），推导各关节的动力学方程。动能 (T) 包括各刚体的平动动能和转动动能，势能 (V) 包括重力势能和弹性势能，如同为这个机械模型建立了运行的规则。
    • 考虑蹬伸力、甩臂力矩等外力的作用，将其作为输入项加入到动力学方程中，如同为这个模型注入了动力，使其能够模拟真实的运动情况。
  • 模型求解：
    • 采用四阶龙格 - 库塔法求解微分方程。该方法是一种常用的数值求解方法，具有较高的精度和稳定性，如同一位可靠的计算助手，能够准确地计算出结果。
    • 通过 MATLAB 或 ADAMS 等软件进行数值模拟，验证起跳高度和翻转角度是否匹配实际数据。将模拟结果与实际比赛中的数据进行对比，如起跳高度 (h = v_z^2/2g \approx 3.2\ \text{m})，如果模拟结果与实际数据相差较大，则需要对模型进行调整和优化，如同根据实际情况对机械模型进行调试，使其更加精准。
• 解答过程的注意事项：
  • 数据精度：在使用表格中的数据时，要如同对待精密仪器一样，注意数据的精度。体重、身高、腿长等数据的测量可能存在一定的误差，在计算过程中要合理处理这些误差，避免对结果产生较大影响，就像在精密实验中，微小的误差可能导致结果的巨大偏差。
  • 模型假设的合理性：将运动员看作多段刚体组成的系统是一种简化假设，在实际情况中，运动员的身体具有一定的柔韧性和弹性。因此，在建立模型时要充分考虑这种简化假设的合理性，必要时可以对模型进行修正，如同在设计模型时，要考虑到实际情况的复杂性，对模型进行优化。
  • 计算方法的选择：四阶龙格 - 库塔法虽然具有较高的精度，但计算量较大。在实际计算中，要根据计算机的性能和计算时间的要求，合理选择计算方法，如同在选择交通工具时，要根据路程和时间的要求，选择最合适的方式。
• 总结：
  • 首先，依据表格中的运动员数据，结合冲量定理和角动量守恒定律，如同侦探依据线索进行推理，分析垂直和水平方向的发力情况。
  • 然后，考虑身体姿态对转动惯量的影响，建立多刚体模型，用拉格朗日方程推导动力学方程，如同为这个复杂的力学系统搭建一个精确的框架。
  • 接着，采用四阶龙格 - 库塔法求解微分方程，并通过数值模拟验证模型的合理性，如同对搭建好的框架进行实际测试，确保其可靠性。
  • 关键决策点在于合理分配垂直动能和转动动能，以满足能量约束和动作完成度的要求。同时，要根据模拟结果对模型进行调整和优化，确保模型能够准确描述运动员的起跳力学行为，如同根据实际情况对框架进行微调，使其更加完美。

2.4 问题二分析

• 起源与发展：在蹦床运动的精彩画卷中，运动员从起跳后到落地的整个过程宛如一场充满挑战的力学冒险，而落地冲击力则是其中隐藏的“危险关卡”，是导致运动员受伤的主要原因之一。因此，量化分析运动员在空中飞行和落地过程中的受力情况，以及探索如何减少落地冲击力，对于提高运动的安全性和运动员的竞技水平具有至关重要的意义。该问题的发展历程，是从对蹦床运动安全问题的关注出发，如同探险家关注未知领域的危险，逐步深入到对飞行和落地阶段力学机制的研究。
• 与其他问题的内在联系：问题 2 与问题 1 紧密相连，问题 1 确定的起跳状态如同为问题 2 开启旅程的起点，是问题 2 动力学方程的初始条件。而问题 2 中运动员落地时的冲击力分析结果，又如同为问题 3 提供的重要情报，为多运动员运动时蹦床的疲劳损伤分析提供了单次冲击的力学输入。
• 解答思路：
  • 影响因素：
    • 空气阻力系数 (C_d)：典型值在 0.6 - 1.0 之间，它如同运动员在空中飞行时的“空气摩擦力调节器”，影响运动员在空中飞行时受到的空气阻力大小。空气阻力会降低运动员的飞行速度，影响起跳高度和落地速度，就像逆风飞行会减慢飞机的速度。
    • 弹性阻尼系数 (c)：取值范围为 200 - 500 N·s/m，它描述了蹦床在弹性恢复过程中的阻尼特性，如同蹦床的“能量消耗器”。阻尼系数越大，蹦床在恢复过程中消耗的能量越多，运动员落地时的冲击力也会相应减小，就像在减震器中，阻尼越大，震动的衰减越快。
    • 落地屈膝角度 (\theta)：最佳值在 (30^\circ - 45^\circ) 之间，落地屈膝角度如同运动员落地时的“缓冲开关”，会影响缓冲距离和冲击时间。合适的屈膝角度可以延长冲击时间，根据 (F_{\text{max}} = m \Delta v / \Delta t)，在动量变化 (m \Delta v) 一定的情况下，延长冲击时间可以降低峰值力，就像在碰撞过程中，增加缓冲时间可以减小冲击力。
  • 理论基础：
    • 空气阻力模型：(F_{\text{air}} = -\frac{1}{2}\rho C_d A v^2)，其中 (\rho) 是空气密度，(C_d) 是空气阻力系数，(A) 是运动员的迎风面积，(v) 是运动员的飞行速度。该模型描述了运动员在空中飞行时受到的空气阻力与速度的平方成正比，如同为空气阻力的计算提供了一个精确的公式。
    • 非线性弹性力：(F_{\text{bed}} = -k y - c \dot{y} - \beta y^3)，其中 (k) 是蹦床的刚度系数，(y) 是蹦床的形变，(c) 是弹性阻尼系数，(\beta) 是非线性系数。该模型考虑了蹦床的非线性弹性恢复特性，更准确地描述了运动员落地时蹦床的受力情况，如同为蹦床的弹性力建立了一个更符合实际的模型。
  • 核心变量：
    • 最大冲击力 (F_{\text{max}})：是衡量运动员落地时受力大小的关键指标，直接关系到运动员受伤的风险，如同衡量危险程度的一把尺子。
    • 缓冲时间 (\Delta t)：指运动员从接触蹦床到速度减为零的时间，延长缓冲时间可以降低最大冲击力，就像在碰撞过程中，增加缓冲时间可以减小伤害。
    • 应力分布 (\sigma(x,y))：描述了蹦床在运动员落地时的应力分布情况，有助于分析蹦床的疲劳损伤程度，如同为蹦床的健康状况进行全面检查。
  • 约束条件：
    • 安全阈值：(F_{\text{max}} \leq 8\ \text{BW})（体重倍数），确保运动员落地时的冲击力在安全范围内，避免受伤，如同为运动员的安全设定了一道防线。
    • 动作连贯性：(t_{\text{air}} \geq 1.2\ \text{s})，保证运动员在空中有足够的时间完成规定动作，满足比赛要求，如同为运动员在空中的表演设定了一个时间底线。
  • 模型构建：
    • 根据牛顿第二定律 (m \ddot{y} = -mg - F_{\text{air}}) 建立飞行阶段的运动方程，其中 (m) 是运动员的质量，(g) 是重力加速度，如同为运动员在空中的飞行建立了运动规则。
    • 在落地阶段，考虑蹦床的弹性力 (F_{\text{bed}})，动力学方程为 (m \ddot{y} = -mg + F_{\text{bed}})（(y < 0)），如同为运动员落地时的运动建立了更准确的模型。
    • 将空气阻力模型和非线性弹性力模型代入动力学方程中，得到完整的运动方程，如同将各个部分组合成一个完整的系统。
  • 模型求解：
    • 采用相空间分析方法，绘制 ((y, \dot{y})) 相图，直观地展示运动员的运动状态，如同为运动员的运动过程绘制了一幅动态地图。
    • 进行参数敏感性分析，如计算 (\partial F_{\text{max}}/\partial k \approx 0.35)，了解各参数对最大冲击力的影响程度，为优化模型和减少冲击力提供依据，如同对系统中的各个参数进行调试，找到最佳的组合。
• 解答过程的注意事项：
  • 非线性弹性模型的处理：蹦床的弹性恢复特性可能是非线性的，在实际应用中要验证刚度系数 (k) 是否随形变深度变化。如果发生变化，需要采用分段线性化等方法进行处理，以提高模型的准确性，如同在处理复杂问题时，要根据实际情况进行灵活调整。
  • 空气阻力系数的确定：空气阻力系数 (C_d) 受到运动员的身体姿态、服装等因素的影响，在实际计算中要根据具体情况合理确定其取值，如同在考虑实际因素时，要全面综合各种情况。
  • 落地姿势的模拟：运动员的落地姿势对冲击力有重要影响，在模型中要准确模拟落地屈膝角度等姿势参数，以真实反映落地过程中的力学行为，如同在模拟实际场景时，要尽可能还原真实情况。
• 总结：
  • 首先，依据问题 1 得到的起跳初始条件，结合空气阻力模型和非线性弹性力模型，如同为运动员的运动旅程绘制详细地图，建立运动员从起跳到落地的动力学方程。
  • 然后，采用相空间分析和参数敏感性分析等方法求解动力学方程，确定落地时的速度和受力情况，如同在地图上找到关键的位置和信息。
  • 最后，探讨通过调整起跳高度和落地姿势来减少落地冲击力的方法，如调整落地屈膝角度等，如同为运动员找到安全着陆的最佳方式。
  • 关键决策点在于合理选择空气阻力系数和弹性阻尼系数等参数，以及确定合适的落地姿势，以满足安全阈值和动作连贯性的要求，如同在复杂的系统中找到最佳的平衡点。

2.5 问题三分析

• 起源与发展：在实际的蹦床运动场景中，多名运动员同时进行运动的情况并不罕见，这就构建了一个复杂而有趣的力学世界。蹦床在多次循环应力的“洗礼”下会产生疲劳损伤，深入了解不同条件下蹦床的受力情况和疲劳损伤程度，对于蹦床设备的设计和维护具有举足轻重的意义。同时，制定使蹦床疲劳损伤最小的策略，就像为蹦床找到一位贴心的“保健医生”，可以延长蹦床的使用寿命，降低成本。该问题的发展是从对蹦床实际使用场景的考虑出发，如同工程师关注机器的实际运行情况，逐步深入到对多运动员协同运动下蹦床力学行为和疲劳损伤的研究。
• 与其他问题的内在联系：问题 3 如同一个集大成者，需要综合问题 1 和问题 2 的模型。问题 1 提供了单个运动员的起跳力学模型，问题 2 提供了单个运动员落地时的力学模型，问题 3 通过叠加多运动员的力学作用，如同将多个零件组合成一台复杂的机器，全面分析蹦床的受力和疲劳损伤程度。
• 解答思路：
  • 影响因素：
    • 起跳时序 (t_i)：允许误差 ±0.1s，合理的起跳时序如同一场精心编排的舞蹈节奏，可以减少应力叠加，降低蹦床的疲劳损伤。例如，错峰起跳可以避免多个运动员同时落地对蹦床造成过大的冲击，就像错开交通高峰期可以减少道路拥堵。
    • 位置权重 (w_i = m_i k_i / \sum m_i k_i)：考虑了运动员的体重 (m_i) 和所在位置的蹦床垂直刚度系数 (k_i)，用于评估运动员对蹦床的影响程度。体重大的运动员分布在刚度系数高的区域，可以使蹦床的受力更加均匀，如同合理安排货物在不同承重能力的货架上，使货架受力更均衡。
    • 材料 S - N 曲线参数 (m = 3.2)，(C = 10^{12})：用于描述蹦床材料的疲劳特性，通过 S - N 曲线可以计算材料在不同应力幅值下的疲劳寿命，如同为蹦床材料的疲劳情况绘制了一张详细的“寿命地图”。
  • 理论基础：
    • 修正 Miner 准则：(D = \sum (\sigma_i^m / C) n_i)，其中 (D) 是疲劳损伤累积，(\sigma_i) 是应力幅值，(n_i) 是实际循环次数，(m) 和 (C) 是材料 S - N 曲线参数。该准则用于计算蹦床在多次循环应力作用下的疲劳损伤程度，如同为蹦床的疲劳损伤计算提供了一个精确的公式。
    • 波动叠加原理：(\sigma_{\text{total}} = \sum \sigma_i(t - t_i))，其中 (\sigma_{\text{total}}) 是总应力，(\sigma_i) 是第 (i) 名运动员产生的应力，(t_i) 是第 (i) 名运动员的起跳时序。该原理用于计算多运动员运动时蹦床的总应力，如同将多个应力源叠加起来，得到总的应力情况。
  • 核心变量：
    • 疲劳损伤累积 (D)：衡量蹦床在多次循环应力作用下的损伤程度，是评估蹦床疲劳寿命的关键指标，如同衡量一个人健康程度的重要参数。
    • 寿命提升比 (\eta = D_{\text{before}} / D_{\text{after}})：用于评估采用使蹦床疲劳损伤最小的策略后，蹦床疲劳寿命的提升效果，如同为策略的有效性提供了一个量化的指标。
    • 应力集中因子 (K_t)：描述蹦床在某些部位出现应力集中的程度，应力集中会加剧蹦床的疲劳损伤，如同在蹦床上找到了容易受损的“薄弱点”。
  • 约束条件：
    • 时序约束：(\max t_i - \min t_i \leq 0.8\ \text{s})，确保所有运动员在首名落地前起跳，避免出现运动员落地时其他运动员还未起跳的情况，如同为这场多人舞蹈设定了一个时间规则，保证表演的顺利进行。
    • 位置约束：(|r_i - r_j| \geq 1.5\ \text{m})，保证运动员之间有足够的距离，避免相互碰撞，同时也有助于使蹦床的受力更加均匀，如同为运动员在舞台上划定了安全的活动范围，使表演更加有序。
  • 模型构建：
    • 根据多体动力学叠加原理，建立包含多人体重和起跳时间等变量的动力学方程 (F_{\text{总}} = \sum_i k_i y_i(t - t_i))，其中 (k_i) 是第 (i) 名运动员所在位置的蹦床垂直刚度系数，(y_i(t - t_i)) 是第 (i) 名运动员在 (t - t_i) 时刻引起的蹦床形变，如同为这个复杂的力学系统建立了一个精确的运动方程。
    • 基于修正 Miner 准则，计算蹦床的疲劳损伤累积 (D)，如同为蹦床的疲劳损伤情况进行精确的量化。
    • 采用有限元分析软件（如 ANSYS）模拟蹦床的瞬态应力分布，考虑应力集中效应，如同为蹦床进行一次全面的“体检”，找出潜在的问题区域。
  • 模型求解：
    • 采用 NSGA - II 多目标优化算法，在满足时序约束和位置约束的前提下，寻找使蹦床疲劳损伤最小的起跳时序和运动员位置分布，如同在复杂的迷宫中寻找最优路径。
    • 通过对比优化前后的应力幅值 (\Delta \sigma)，根据 S - N 曲线（如 (\sigma^m N = C)）计算寿命提升比例，如同对优化策略的效果进行量化评估，看看是否达到了预期的目标。
• 解答过程的注意事项：
  • 应力集中效应的处理：在多运动员同时进行蹦床运动时，蹦床的不同部位可能会出现应力集中现象。通过有限元分析可以准确地模拟蹦床网格的局部应力分布，找出应力集中的区域，为优化运动员的位置提供依据。在模型中要合理考虑应力集中效应，避免对蹦床疲劳损伤程度的低估，如同在设计建筑时，要充分考虑结构的受力集中点，确保建筑的安全性。
  • 时序约束的满足：所有运动员必须在首名落地前起跳，这限制了起跳时间的选择范围。在制定起跳时序优化策略时，要确保满足时序约束条件。可以使用遗传算法等优化算法，在满足约束条件的前提下，找到使蹦床疲劳损伤最小的起跳时序，如同在规定的时间内完成一项任务，要合理安排时间，找到最佳方案。
  • 模型的验证：在建立多运动员运动的动力学方程和疲劳损伤模型后，要通过实际数据或实验对模型进行验证。可以与实际蹦床运动场景中的数据进行对比，检查模型的准确性和可靠性，如同在制造机器后，要通过实际运行来检验机器的性能是否符合要求。
• 总结：
  • 首先，依据问题 1 和问题 2 的模型，建立多运动员运动的动力学方程，考虑多体动力学叠加原理，如同将多个简单的模型组合成一个复杂的系统，为后续分析奠定基础。
  • 然后，基于修正 Miner 准则计算蹦床的疲劳损伤累积，采用有限元分析模拟蹦床的应力分布，如同对这个系统进行全面的分析和评估，了解其疲劳损伤情况。
  • 接着，使用 NSGA - II 多目标优化算法，在满足时序约束和位置约束的前提下，优化起跳时序和运动员位置分布，制定使蹦床疲劳损伤最小的策略，如同在复杂的系统中找到最佳的运行方案，减少蹦床的疲劳损伤。
  • 最后，对比优化前后的应力幅值，根据 S - N 曲线计算寿命提升比例，评估策略的效果，如同对优化方案进行最终的检验，看看是否达到了延长蹦床疲劳寿命的目的。
  • 关键决策点在于合理安排起跳时序和运动员位置，以减少应力叠加和应力集中效应，降低蹦床的疲劳损伤程度，如同在复杂的系统中找到最佳的平衡点，使系统能够长期稳定运行。