基础算法 —— 二分算法 【复习总结】

1. 简介

1.1 原理

二分算法，顾名思义，关键在于二分，当我们求解的目标具有二段性时，我们就可以使用二分算法：

先根据待查找区间中点位置，判断结果会在左侧还是右侧，接下来，舍弃一半的查找区间，在结果存在的区间继续进行二分查找

1.2 模板

二分查找可以分为：1. 二分查找区间左端点；2. 二分查找区间右端点

（ “左端点”指当结果存在多个，我们选择最靠左边的那一个；“右端点”指当结果存在多个，我们选择最靠右边的那一个）

如： 在序列 1 2 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8 9 9 10 中，求大于等于4的数，我们选绿色左端点；求小于等于10的数，我们选黄色右端点

// 二分查找区间左端点
int l = 1, r = n;
while (l < r)
{int mid = (l + r) / 2;if (check(mid))r = mid;else l = mid + 1;
}// 二分查找区间右端点
int l = 1, r = n;
while (l < r)
{int mid = (l + r + 1) / 2;if (check(mid))l = mid;else r = mid - 1;
}
// 注1：二分结束后可能要判断是否存在结果
// 注2：如果结束条件为 l<=r，可能会导致死循环
// 注3：可以快速记忆：a. 求左端点，mid=(l+r)/2;求右端点，mid=(l+r+1)/2。因为+1导致结果偏右
//                    b. if/else中出现 -1 ，求 mid 就要 +1
// 注4：为防止溢出，求中点时：mid=l+(r - l)/2

1.3 STL中二分查找

头文件：<algorithm>
1. lower_bound：大于等于x的最小元素，返回的是迭代器
2. upper_bound：大于x的最小元素，返回的是迭代器。
二者都用二分实现。但是STL中的二分查找只能适用于【在有序的数组中查找】

2. 二分查找

2.1 高考志愿

2.1.1 题目描述

有 m 所学校，每所学校预计分数线是 a[i]。有 n 位学生，估分分别为 b[i]。

根据 n 位学生的估分情况，分别给每位学生推荐一所学校，要求学校的预计分数线和学生的估分相差最小，这个最小值为不满意度。求所有学生不满意度和的最小值。

输入描述：

第一行读入两个整数 m,n。m 表示学校数，n 表示学生数。

第二行共有 m 个数，表示 m 个学校的预计录取分数。第三行有 n 个数，表示 n 个学生的估分成绩。

（1≤n,m≤1e5）

输出描述：

一行，为最小的不满度之和。

2.1.2 算法分析

先把学校的录取分数排序，根据每个学生的成绩 b ，在 【序列】 中二分查找第一个 >= b 的位置pos , 差值可能是正数或者负数，所有差值最小的结果在 pos 位置或 pos-1 位置 （选择最接近的）

但注意：1. 如果所有的录取成绩都大于 b，pos - 1 会在0下标，访问一个无效值，结果可能错误

               2. 如果所有的录取成绩都小于 b，pos 会在n下标，对于此题无影响

 针对这种情况，我们可以添加 【左右护法】，即在序列左右添加不会对结果造成干扰的值，确保pos和pos-1有效 （这个左右护法一般是正无穷或者负无穷）

对于该题，我们添加左护法即可

2.1.3 代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
int n, m;
LL a[N];// 查找区间左端点
int find(LL x)
{int left = 1, right = m;while (left < right){int mid = (left + right) / 2;if (a[mid] < x) left = mid + 1;else right = mid;}return left;
}int main()
{cin >> m >> n;// 将录取分数线排序for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> a[i];sort(a + 1, a + 1 + m);// 添加左护法a[0] = -1e7 - 10;// 依次处理每个学生的分数LL ret = 0;for (int i = 1; i <= n; i++){LL x; cin >> x;int pos = find(x);ret += min(abs(a[pos] - x), abs(a[pos - 1] - x));}cout << ret << endl;return 0;
}

3. 二分答案

3.1 简介

二分答案是二分查找的抽象化，准确说应叫 【二分答案+判断】

⼆分答案用来处理大部分「最大值最小」以及「最小值最大」的问题。即解空间在从小到大的变化中，「判断」结果会出现「⼆段性」，此时我们就可以「二分」这个解空间，得到答案

3.2 例题

3.2.1 砍树

3.2.1.1 题目描述

伐木工要砍 M 米长的木材。但他只被允许砍伐一排树。

伐木工的伐木流程如下：设置一个高度参数 H（米），伐木机升起一个巨大的锯片到高度 H，并锯掉所有树比 H 高的部分（树木不高于 H 米的部分保持不变）。例如，如果一排树的高度分别为 20,15,10 和 17，锯片升到 15 米的高度，切割后树木剩下的高度将是 15,15,10 和 15，而伐木工将从第 1 棵树得到 5 米，从第 4 棵树得到 2 米，共得到 7 米木材。

伐木工不会砍掉过多的木材。这也是他尽可能高地设定伐木机锯片的原因。请找到伐木机锯片的最大的整数高度 H，使得伐木工能得到的木材至少为 M 米。换句话说，如果再升高 1 米，他将得不到 M 米木材。

输入描述：

第 1 行 2 个整数 N 和 M，N 表示树木的数量，M 表示需要的木材总长度。（1≤N≤1e6，1≤M≤2×1e9 ，树的高度 ≤4×1e5，所有树的高度总和 >M)

第 2 行 N 个整数表示每棵树的高度。

输出描述：

1 个整数，表示锯片的最高高度。

输入：

4 7
20 15 10 17

输出：

15

3.2.1.2 算法思想

假设伐木机高度为 H 时,得到木材为 sum，最终锯片的高度为 ret 。

根据题意，当 H<=ret 时，sum>=M ；当 H>ret 时，sum<M 。即 【伐木机的高度】小于 【最优高度】时，得到的木材大于 M ,我们就是在保证木材大于 M 的情况下求得最高高度。这就是【最小值最大】（ 伐木机高度从小到大寻找最合适的 ）

3.2.1.3 代码实现

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 10;
LL n, m;
LL a[N];// 当高度为 x 时，获得的木材
LL calc(LL x)
{LL ret = 0;for (int i = 1; i <= n; i++){// 针对每根木头，切成的木材为 a[i]-xif (a[i] > x)ret += a[i] - x;}return ret;
}int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];// 二分答案，最小值最大LL left = 1, right = 2e9;while (left < right){int mid = (left + right + 1) / 2;if (calc(mid) >= m) left = mid;else right = mid - 1;}cout << left << endl;return 0;
}

3.2.2 跳石头

3.2.2.1 题目描述

现要进行跳石头比赛，组委会已经选择好了两块岩石作为比赛起点和终点。在起点和终点之间，有 N 块岩石（不含起点和终点的岩石）。选手们将从起点出发，每一步跳向相邻的岩石，直至到达终点。

组委会计划移走一些岩石，使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长。由于预算限制，组委会至多从起点和终点之间移走 M 块岩石（不能移走起点和终点的岩石）。

输入描述：

第一行包含三个整数 L,N,M，分别表示起点到终点的距离，起点和终点之间的岩石数，以及组委会至多移走的岩石数。保证 L≥1 且 N≥M≥0。( 0≤M≤N≤5e4,1≤L≤1e9)

接下来 N 行，每行一个整数，第 i 行的整数 D[i]​(0<Di​<L)， 表示第 i 块岩石与起点的距离。这些岩石按与起点距离从小到大的顺序给出，且不会有两个岩石出现在同一个位置。

输出描述：

一个整数，即最短跳跃距离的最大值。

输入：

25 5 2 
2
11
14
17 
21

输出：

4

3.2.2.2 算法思想

假设每次跳的最短距离为 x ,移走的石头数为 sum ,最终最短跳跃距离的最大值为 ret

根据题意，当 x<=ret 时，sum<=M;当 x>ret时，sum>M。即 【每次跳的最短距离】小于 【最优距离】时，移走的石头数小于 M,我们就是在保证移走的石头数小于 M 的情况下求得【最短跳跃距离最大值】。这就是【最小值最大】（ 移走的石头从小到大寻找最合适的 ）

对于如何计算当二分一个最短距离 x 时，移动的石头数：

此时我们可以结合我们上一篇所介绍的【双指针】，我们可以定义两个指针 left 和 right ，当第一次出现 a[right]-a[left] >= x 时，[ left+1,right-1 ] 中的所有石头都可以移走（因为之间所有石头距离都小于 x ,不符合题意)。之后将 left 更新到 right 位置。然后 right 向后移动。重复此过程 （ 简单模拟一下还是很容易理解）

3.2.2.3 代码实现

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 5e4 + 10;
LL l, n, m;
LL a[N];// 计算当最短跳跃距离为 x 时，移走的石头数
LL calc(LL x)
{LL ret = 0;// 下标0为起点for (int left = 0; left <= n; left++){int right = left + 1;while (right <= n && a[right] - a[left] < x) right++;ret += right - left - 1;left = right - 1;}return ret;
}int main()
{cin >> l >> n >> m;// 记录所有岩石的距离，包括终点for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];a[n + 1] = l;n++;// 二分答案，最小值最大LL left = 1, right = l;while (left < right){LL mid = (left + right + 1) / 2;if (calc(mid) <= m)left = mid;else right = mid - 1;}cout << left << endl;return 0;
}