实变函数 第四章 可测函数

§4 可测函数

4.1 定义及性质

$\text{Define}$ 可测函数
设 f : E → R ∪ { ± ∞ } f:E\to\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\} f:E→R∪{±∞} 为定义在可测集 $E$ 上的广义实值函数，若 $\forall a\in \mathbb{R}:$
E [ f > a ] : = { x ∈ E : f ( x ) > a } E[f>a]:=\{x\in E:f(x)>a\} E[f>a]:={x∈E:f(x)>a}
为可测集，则称 $f$ 为 $E$ 上的可测函数.

$\text{Theorem}$ 函数可测的充要条件

若 $f(x)$ 是定义在可测集 $E\subset {\mathbb{R}}^n$ 的实函数，则

1. $\forall a\in \mathbb{R}:E[f⩾a],E[f<a],E[f⩽a]$ 都可测；
2. $\forall a<b\in \mathbb{R}:E[a⩽f<b]$ 可测（充分性要假定 $f(x)$ 是有限函数）

$\text{Corollary}$
若 $f(x)$ 在 $E$ 上可测，则 ∀ a ∈ R ∪ { ± ∞ } , E [ f = a ] \forall a\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\},E[f=a] ∀a∈R∪{±∞},E[f=a] 可测，反之不成立.

$\text{Theorem}$ 可测函数性质

1. 设 f , g , { f n } f,g,\{f_n\} f,g,{fn​} 在 $E$ 上可测，$E_1\subseteq E$ 为可测子集，则
   (1) $f+g,f\cdot g,\frac{1}{f},|f|$；
   (2) $\inf f_n,\sup f_n,\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{f}_n,\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{f}_n$；
   (3) $f{|}_{E_1}$；
   皆为可测函数.
2. 设 $f$ 定义在有限个可测集并集 $E=\bigcup _{k=1}^n{E}_k$ 上，且函数在每个 $E_k$ 皆可测，则 $f$ 在 $E$ 上也可测.

$\text{Theorem}$
可测集 $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 上的连续函数是可测函数.

4.2 收敛性

收敛关系	全称	缩写	备注
逐点收敛 / 点态收敛	pointwise convergence
一致收敛	uniform convergence
近一致收敛 / 几乎一致收敛	nearly uniform convergence / almost uniform convergence	n.u. / a.u.
几乎处处收敛 / 几乎必然收敛	convergence almost everywhere / convergence almost surely	a.e. / a.s.	通常实分析使用前者，概率论使用后者.
依测度收敛	convergence in measure

4.2.1 逐点收敛(点态收敛) $f_n\to f$

$\text{Define}$ 逐点收敛(点态收敛)
设 f , { f n } f,\{f_n\} f,{fn​} 为定义在 $E$ 上的函数，若 $\forall x\in E,\forall \epsilon >0,\exists N_{\epsilon ,x}\in {\mathbb{N}}^{+},\forall n>N_{\epsilon ,x}:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$，则称 { f n } \{f_n\} {fn​} 在 $E$ 上逐点收敛于 $f$，记作 $f_n\to f$.

4.2.2 一致收敛 $f_n\rightrightarrows f$、内闭一致收敛

$\text{Define}$ 一致收敛
设 f , { f n } f,\{f_n\} f,{fn​} 为定义在 $E$ 上的函数，若 $\forall \epsilon >0,\exists N_{\epsilon }\in {\mathbb{N}}^{+},\forall x\in E,\forall n>N_{\epsilon }:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$，则称 { f n } \{f_n\} {fn​} 在 $E$ 上一致收敛于 $f$，记作 $f_n\rightrightarrows f$.

$\text{Define}$ 内闭一致收敛
设 f , { f n } f,\{f_n\} f,{fn​} 为定义在 $E$ 上的函数，若 { f n } \{f_n\} {fn​} 在 $E$ 的任意闭子集上一致收敛于 $f$，则称 { f n } \{f_n\} {fn​} 内闭一致收敛于 $f$.

4.2.3 几乎处处收敛 $f_n\stackrel{a.e.}{\to }f$

$\text{Define}$ 几乎处处收敛
设 { f n } , f \{f_n\},f {fn​},f 为定义在可测集 $E$ 上的可测函数，若 $\exists E_{\delta }\subseteq E,m(E_{\delta })=0,s.t.f_n\to f,x\in E\setminus E_{\delta }$，则称 { f n } \{f_n\} {fn​} 在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f$，记作 $f_n\stackrel{a.e.}{\to }f$.

4.2.4 近一致收敛(几乎一致收敛) $f_n\stackrel{a.u.}{\to }f$

$\text{Define}$ 近一致收敛(几乎一致收敛)
设 { f n } , f \{f_n\},f {fn​},f 都是可测集 $E$ 上 $a.e.$ 有限的可测函数，若 $\forall \delta >0,\exists E_{\delta }\subseteq E,s.t.m(E\backslash E_{\delta })<\delta$，且 $f_n\rightrightarrows f,x\in E_{\delta }$，则称 { f n } \{f_n\} {fn​} 在 $E$ 上近一致收敛于 $f$，记作 $f_n\stackrel{a.u.}{\to }f$.

4.2.5 依测度收敛 $f_n\stackrel{m}{\to }f$

$\text{Define}$ 依测度收敛
设 { f n } , f \{f_n\},f {fn​},f 都是可测集 $E$ 上 $a.e.$ 有限的可测函数，若 $\forall \sigma >0:\underset{n\to \infty }{\lim }m(E[|f_n-f|⩾\sigma ])=0$，即
$$\forall \sigma ,\epsilon >0,\exists N_{\sigma ,\epsilon }\in {\mathbb{N}}^{+}s.t.\forall n>N_{\sigma ,\epsilon }:m(E_n(\sigma ))<\epsilon$$
则称 { f n } \{f_n\} {fn​} 在 $E$ 上依测度收敛于 $f$，记作 $f_n\stackrel{m}{\to }f$.

4.3 收敛关系与定理

4.3.1 叶戈罗夫定理及其逆定理

$\text{Theorem}$ $\text{Egorov}$ 定理

设 { f n } , f \{f_n\},f {fn​},f 为可测集 $E$ 上 $a.e.$ 有限的可测函数，若 $m(E)<+\infty$，且 $f_n\stackrel{a.e.}{\to }f$，则 $f_n\stackrel{a.u.}{\to }f$.

$\text{Theorem}$ $\text{Egorov}$ 逆定理

设 { f n } , f \{f_n\},f {fn​},f 为可测集 $E$ 上 $a.e.$ 有限的可测函数，若 $f_n\stackrel{a.u.}{\to }f$，则 $f_n\stackrel{a.e.}{\to }f$.

$\text{Proof:}$

令
E 0 = { x ∈ E : ∣ f ∣ = + ∞ ∨ ∣ f n ∣ = + ∞ } E_0=\{x\in E:|f|=+\infty\vee |f_n|=+\infty\} E0​={x∈E:∣f∣=+∞∨∣fn​∣=+∞}
则 f , { f n } f,\{f_n\} f,{fn​} 在 $E\backslash E_0=:\tilde{E}$ 上有限，记 $\tilde{E}$ 上非逐点收敛的集合为
{ x ∈ E ~ : f n ↛ f } = { x ∈ E ~ : ∃ ε > 0 , ∀ N ∈ N + , ∃ n ⩾ N , ∣ f n − f ∣ ⩾ ε } = ⋃ ε > 0 ⋂ N ∈ N + ⋃ n ⩾ N { x ∈ E ~ : ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ ⩾ ε } = : ⋃ ε > 0 ⋂ N ∈ N + ⋃ n ⩾ N E ~ n ( ε ) \begin{align*} \{x\in \tilde{E}:f_n\nrightarrow f\}&=\{x\in \tilde{E}:\exists\varepsilon>0,\forall N\in\mathbb{N^+},\exists n\geqslant N,|f_n-f|\geqslant\varepsilon\} \\&=\bigcup_{\varepsilon>0}\bigcap_{N\in\mathbb{N^+}}\bigcup_{n\geqslant N}\{x\in \tilde{E}:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\} \\&=:\bigcup_{\varepsilon>0}\bigcap_{N\in\mathbb{N^+}}\bigcup_{n\geqslant N}\tilde{E}_n(\varepsilon) \end{align*} {x∈E~:fn​↛f}​={x∈E~:∃ε>0,∀N∈N+,∃n⩾N,∣fn​−f∣⩾ε}=ε>0⋃​N∈N+⋂​n⩾N⋃​{x∈E~:∣fn​(x)−f(x)∣⩾ε}=:ε>0⋃​N∈N+⋂​n⩾N⋃​E~n​(ε)​

由于 $f\stackrel{a.e.x\in \tilde{E}}{\to }f$，所以 m ( { x ∈ E ~ : f n ↛ f } ) = 0 m(\{x\in\tilde{E}:f_n\nrightarrow f\})=0 m({x∈E~:fn​↛f})=0，零测集子集皆为零测集，故
$$\forall \epsilon >0:m\left(\bigcap _{N\in {\mathbb{N}}^{+}}\bigcup _{n⩾N}{\tilde{E}}_n(\epsilon )\right)=0$$

题设可知 $m(E)<+\infty$，且 { ⋃ n ⩾ N E ~ n ( ε ) } N = 1 + ∞ ↓ \{\bigcup_{n\geqslant N}\tilde{E}_n(\varepsilon)\}_{N=1}^{+\infty}\downarrow {⋃n⩾N​E~n​(ε)}N=1+∞​↓，故由递减集合列测度性质得
$$\begin{array}{rl}m\left(\bigcap _{N\in {\mathbb{N}}^{+}}\bigcup _{n⩾N}{\tilde{E}}_n(\epsilon )\right)& =m\left(\underset{N\to \infty }{\lim }\bigcup _{n⩾N}{\tilde{E}}_n(\epsilon )\right)\\ & =\underset{N\to \infty }{\lim }m\left(\bigcup _{n⩾N}{\tilde{E}}_n(\epsilon )\right)\\ & =0\end{array}$$

由极限定义，$\forall {\epsilon }^{\prime }>0,\exists N_{{\epsilon }^{\prime },\epsilon }\in {\mathbb{N}}^{+},s.t.\forall N⩾N_{{\epsilon }^{\prime },\epsilon }:$

$$m\left(\bigcup _{n⩾N}{\tilde{E}}_n(\epsilon )\right)<{\epsilon }^{\prime }$$

令
E ~ δ = ( ⋃ ε > 0 ⋃ n ⩾ N ⩾ N ε ′ , ε E ~ n ( ε ) ) c = ⋂ ε > 0 ⋂ n ⩾ N ε ′ , ε { x ∈ E ~ : ∣ f n − f ∣ < ε } = { x ∈ E ~ : ∀ ε > 0 , ∀ n ⩾ N ε ′ , ε , ∣ f n − f ∣ < ε } \begin{align*} \tilde{E}_{\delta}&=\left(\bigcup_{\varepsilon>0}\bigcup_{n\geqslant N\geqslant N_{\varepsilon',\varepsilon}}\tilde{E}_n(\varepsilon)\right)^c \\&=\bigcap_{\varepsilon>0}\bigcap_{n\geqslant N_{\varepsilon',\varepsilon}}\{x\in \tilde{E}:|f_n-f|<\varepsilon\} \\&=\{x\in\tilde{E}:\forall\varepsilon>0,\forall n\geqslant N_{\varepsilon',\varepsilon},|f_n-f|<\varepsilon\} \end{align*} E~δ​​= ​ε>0⋃​n⩾N⩾Nε′,ε​⋃​E~n​(ε) ​c=ε>0⋂​n⩾Nε′,ε​⋂​{x∈E~:∣fn​−f∣<ε}={x∈E~:∀ε>0,∀n⩾Nε′,ε​,∣fn​−f∣<ε}​
故 $f_n\stackrel{u.c.x\in {\tilde{E}}_{\delta }}{\to }f$，取 ${\epsilon }^{\prime }=\frac{\delta }{2^k},\epsilon =\frac{1}{k}$，则由可列可加性，$\forall \delta >0,k\in {\mathbb{N}}^{+}:$
$$\begin{array}{rl}m(\tilde{E}\backslash {\tilde{E}}_{\delta })& =m(\tilde{E}\cap {\tilde{E}}_{\delta }^c)\\ & =m\left(\bigcup _{k=1}^{\infty }\bigcup _{n⩾N_k}{\tilde{E}}_n\left(\frac{1}{k}\right)\right)\\ & ⩽\sum _{k=1}^{\infty }m\left(\bigcup _{n⩾N_k}{\tilde{E}}_n\left(\frac{1}{k}\right)\right)\\ & <\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\delta }{2^k}\\ & =\delta \end{array}$$

4.3.2 里斯定理

$\text{Theorem}$ $\text{Riesz}$ 定理

设 { f n } , f \{f_n\},f {fn​},f 为可测集 $E$ 上 $a.e.$ 有限的可测函数，若 $f_n\stackrel{m}{\to }f$，则存在子列 $f_{n_k}\stackrel{a.e.}{\to }f$.

$\text{Proof:}$

$\forall s\in {\mathbb{N}}^{+}$，取 $\epsilon =\delta =2^{-s}$，由于 $f_n\stackrel{m}{\to }f$，所以
$$\underset{n\to \infty }{\lim }m\left(E[|f_n-f|⩾\sigma ]\right)=0$$
即
$$\forall \sigma ,\epsilon >0,\exists N_{\sigma ,\epsilon }\in {\mathbb{N}}^{+},s.t.\forall n>N_{\sigma ,\epsilon }:m\left(E[|f_n-f|⩾\sigma ]\right)<\epsilon$$
则
$$\exists n_s>N_{\sigma ,\epsilon },s.t.m\left(E[|f_{n_s}-f|⩾\sigma ]\right)<\epsilon$$
记 $E_s:=E[|f_{n_s}-f|⩾2^{-s}]$，则
$$\forall s\in {\mathbb{N}}^{+}:m(E_s)<2^{-s}$$
令
$$\begin{gathered} F_k:=\bigcap _{s=k}^{\infty }(E\backslash E_s)=\bigcap _{s=k}^{\infty }E[|f_{n_s}-f|<2^{-s}] \\ F:=\bigcup _{k=1}^{\infty }{F}_k \end{gathered}$$
则
$$\forall s⩾k:|f_{n_s}-f|<2^{-s}$$
令 $s\to \infty$，有 $f_{n_k}\to f,x\in F_k$，进而 $f_{n_s}\to f,x\in F$，因此
$$E[f_{n_s}\nrightarrow f]\subseteq E\backslash F=E\cap F^c=\bigcap _{k=1}^{\infty }\bigcup _{s=k}^{\infty }{E}_s\subseteq \bigcup _{s=k}^{\infty }{E}_s$$
于是
$$\begin{array}{rl}m(E[f_{n_s}\nrightarrow f])& ⩽m\left(\bigcup _{s=k}^{\infty }{E}_s\right)⩽\sum _{s=k}^{\infty }m(E_s)\\ & <\sum _{s=k}^{\infty }\frac{1}{2^s}\to 0(k\to \infty )\end{array}$$
故 $m(E[f_{n_s}\nrightarrow f])=0$，从而 $f_{n_k}\stackrel{a.e.x\in E}{\to }f$

4.3.3 勒贝格定理

$\text{Theorem}$ $\text{Lebesgue}$ 定理

设 { f n } , f \{f_n\},f {fn​},f 为可测集 $E$ 上 $a.e.$ 有限的可测函数，若 $m(E)<+\infty$，且 $f_n\stackrel{a.e.}{\to }f$，则 $f_n\stackrel{m}{\to }f$.

$\text{Proof:}$

由 $\text{Egorov}$ 定理证明过程
∀ ε > 0 : lim ⁡ N → ∞ m ( ⋃ n ⩾ N { x ∈ E ~ : ∣ f n − f ∣ ⩾ ε } ) = 0 \forall \varepsilon>0:\lim_{N\to\infty}m\left(\bigcup_{n\geqslant N}\{x\in\tilde{E}:|f_n-f|\geqslant \varepsilon\}\right)=0 ∀ε>0:N→∞lim​m(n⩾N⋃​{x∈E~:∣fn​−f∣⩾ε})=0
故
$$E[|f_n-f|⩾\epsilon ]\subseteq E_0\cup \bigcup _{n⩾N}\tilde{E}[|f_n-f|⩾\epsilon ]$$
于是
$$\begin{array}{rl}0& ⩽\underset{n\to \infty }{\lim }m\left(E[|f_n-f|⩾\epsilon ]\right)\\ & ⩽\underset{n\to \infty }{\lim }m\left(\bigcup _{j⩾n}\tilde{E}[|f_j-f|⩾\epsilon ]\right)\\ & =0\end{array}$$
即 $f_n\stackrel{m}{\to }f$.

4.4 可测函数构造

4.4.1 简单函数逼近可测函数

$\text{Define}$ 简单函数
设 f : E → R ∩ { ± ∞ } f:E\to\mathbb{R}\cap\{\pm\infty\} f:E→R∩{±∞} 的定义域可分为互不相交的可测集 $\bigcup _{k=1}^n{E}_k=E$，若函数在每个可测集 $E_k$ 上皆为常值，则称 $f$ 为简单函数.

$\text{Theorem}$ 简单函数逼近可测函数

1. 若 $f(x)$ 在可测集 $E$ 非负可测，则存在可测简单递增函数列 { φ k ( x ) } ↑ \{\varphi_k(x)\}\uparrow {φk​(x)}↑，使得 ${\phi }_k\to f$.
2. 若 $f(x)$ 在可测集 $E$ 可测，则存在可测简单函数列 { φ k ( x ) } \{\varphi_k(x)\} {φk​(x)}，使得 ${\phi }_k\to f$. 若 $f$ 于 $E$ 有界，则 ${\phi }_k\rightrightarrows f$.

4.4.2 卢津定理

$\text{Theorem}$ $\text{Lusin}$ 定理

设 $f$ 为可测集 $E$ 上 $a.e.$ 有限的可测函数，则 $\forall \delta >0$，存在闭子集 $F_{\delta }\subset E$，使得 $f(x)$ 在 $F_{\delta }$ 上是连续函数，且 $m(E\backslash F_{\delta })<\delta$.