数据结构--二叉树

一、二叉树概念及结构

1、概念：一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
1） 或者为空
2） 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：
1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的

二、特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

三、二叉树的性质

四、二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
1. 顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆，前面有一篇文章有分享，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链（红黑树再分享）。

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点值域
};
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点值域
};

五、二叉树的顺序结构及实现

1 二叉树的顺序结构
普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>// 定义二叉树节点的数据类型，这里使用 int 类型
typedef int BTDataType;// 定义二叉树节点的结构体
typedef struct BinaryTree
{BTDataType data;  // 节点存储的数据struct BinaryTree* left;  // 指向左子节点的指针struct BinaryTree* right; // 指向右子节点的指针
}BTNode;// 创建一个新的二叉树节点
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{// 为新节点分配内存BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (node == NULL){// 若内存分配失败，输出错误信息perror("malloc fail");return NULL;}node->data = x;  // 初始化节点的数据node->left = NULL;  // 初始化左子节点指针为 NULLnode->right = NULL; // 初始化右子节点指针为 NULLreturn node;  // 返回新创建的节点
}// 后序遍历二叉树：左子树 -> 右子树 -> 根节点
void PostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){// 若节点为空，输出 'N' 表示空节点printf("N ");return;}// 递归遍历左子树PostOrder(root->left);// 递归遍历右子树PostOrder(root->right);// 输出当前节点的数据printf("%d ", root->data);
}// 创建一个示例二叉树
BTNode* CreatBinaryTree()
{// 创建 6 个节点BTNode* node1 = BuyNode(1);BTNode* node2 = BuyNode(2);BTNode* node3 = BuyNode(3);BTNode* node4 = BuyNode(4);BTNode* node5 = BuyNode(5);BTNode* node6 = BuyNode(6);// 构建节点之间的关系node1->left = node2;node1->right = node3;node2->left = node4;node2->right = node5;node3->left = node6;return node1;  // 返回根节点
}// 计算二叉树的节点数量
int BTreeSize(BTNode* root)
{// 若节点为空，返回 0，否则递归计算左子树和右子树的节点数量并加 1return root == NULL ? 0 : BTreeSize(root->left) + BTreeSize(root->right) + 1;
}// 计算二叉树的叶子节点数量
int BtreeLeafSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){// 若节点为空，返回 0return 0;}if (root->left == NULL && root->right == NULL){// 若节点没有左右子节点，说明是叶子节点，返回 1return 1;}// 递归计算左子树和右子树的叶子节点数量return BtreeLeafSize(root->left) + BtreeLeafSize(root->right);
}// 计算二叉树的高度
int BTreeHeight(BTNode* root)
{if (root == NULL){// 若节点为空，高度为 0return 0;}// 递归计算左子树的高度int leftHeight = BTreeHeight(root->left);// 递归计算右子树的高度int rightHeight = BTreeHeight(root->right);// 返回左右子树高度的最大值加 1return  leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}// 计算二叉树第 k 层的节点数量
int BTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{// 确保 k 大于 0assert(k > 0);if (root == NULL){// 若节点为空，返回 0return 0;}if (k == 1){// 若 k 为 1，说明是当前层，返回 1return 1;}// 递归计算左子树和右子树第 k-1 层的节点数量return BTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}// 判断两棵二叉树是否相同
bool isSameTree(BTNode* root1, BTNode* root2)
{if (root1 == NULL && root2 == NULL){// 若两棵树都为空，说明相同return true;}if (root1 == NULL || root2 == NULL){// 若其中一棵树为空，另一棵不为空，说明不同return false;}if (root1->data != root2->data){// 若当前节点的数据不同，说明不同return false;}// 递归判断左右子树是否相同return isSameTree(root1->left, root2->left) && isSameTree(root1->right, root2->right);
}// 在二叉树中查找值为 x 的节点
BTNode* BTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL){// 若节点为空，返回 NULLreturn NULL;}if (root->data == x){// 若当前节点的数据等于 x，返回该节点return root;}// 在左子树中查找BTNode* ret1 = BTreeFind(root->left, x);if (ret1){// 若在左子树中找到，返回该节点return ret1;}// 在右子树中查找BTNode* ret2 = BTreeFind(root->right, x);if (ret2){// 若在右子树中找到，返回该节点return ret2;}return NULL;  // 未找到，返回 NULL
}// 判断二叉树是否为单值二叉树（所有节点的值都相同）
bool isUnivalTree(BTNode* root)
{if (root == NULL){// 若节点为空，认为是单值二叉树return true;}if (root->left && root->left->data != root->data){// 若左子节点的值与当前节点不同，不是单值二叉树return false;}if (root->right && root->right->data != root->data){// 若右子节点的值与当前节点不同，不是单值二叉树return false;}// 递归判断左右子树是否为单值二叉树return isUnivalTree(root->left) && isUnivalTree(root->right);
}// 判断二叉树的左右子树是否对称
bool _isSymmetric(BTNode* leftroot, BTNode* rightroot)
{if (leftroot == NULL && rightroot == NULL){// 若左右子树都为空，说明对称return true;}if (leftroot == NULL || rightroot == NULL){// 若其中一个子树为空，另一个不为空，说明不对称return false;}if (leftroot->data != rightroot->data){// 若左右子树的当前节点数据不同，说明不对称return false;}// 递归判断左子树的左子树和右子树的右子树，以及左子树的右子树和右子树的左子树是否对称return _isSymmetric(leftroot->left, rightroot->right) && _isSymmetric(leftroot->right, rightroot->left);
}// 判断二叉树是否对称
bool isSymmetric(BTNode* root)
{// 调用辅助函数判断左右子树是否对称return _isSymmetric(root->left, root->right);
}// 计算二叉树的节点数量
int TreeSize(BTNode* root)
{// 若节点为空，返回 0，否则递归计算左子树和右子树的节点数量并加 1return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}// 前序遍历二叉树并将节点数据存储到数组中
void _preorder(BTNode* root, int* a, int i)
{if (root == NULL){// 若节点为空，直接返回return;}a[i++] = root->data;  // 将当前节点的数据存储到数组中// 递归遍历左子树_preorder(root->left, a, i);// 递归遍历右子树_preorder(root->right, a, i);
}// 前序遍历二叉树并返回存储节点数据的数组
int* preorderTraversal(BTNode* root, int* returnSize)
{// 计算二叉树的节点数量*returnSize = TreeSize(root);// 为数组分配内存int* a = (int*)malloc(*returnSize * sizeof(int));int i = 0;// 调用辅助函数进行前序遍历_preorder(root, a, i);return a;  // 返回存储节点数据的数组
}int main()
{// 创建一个示例二叉树BTNode* root = CreatBinaryTree();int a[] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 };int size = sizeof(a) / sizeof(a[0]);PostOrder(root);printf("\n");int* ret = preorderTraversal(root, &size);printf("%p\n", ret);return 0;
}

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