卡特兰数--

卡特兰数（Catalan Number）

 Go 语言动态规划实现

func Catalan(n int) int {dp := make([]int, n+1)dp[0] = 1dp[1] = 1for i := 2; i <= n; i++ {for j := 1; j <= i; j++ {dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j]}}return dp[n]
}

🎯 卡特兰数的动态规划递推公式

🔁 递推公式（动态规划版）

卡特兰数满足以下递推关系：

C₀ = 1
Cₙ = C₀×Cₙ₋₁ + C₁×Cₙ₋₂ + C₂×Cₙ₋₃ + ... + Cₙ₋₁×C₀

也可以写作：

Cₙ = ∑ (Cᵢ × Cₙ₋₁₋ᵢ)，其中 i 从 0 到 n-1

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应用场景

1. 括号匹配问题

在一个合法的括号序列中：

• 左右括号数量相等；

• 任意位置，左括号数量不少于右括号。

例如：

• 合法：(), (()), ()()；

• 非法：()), ()))(()。

n 对括号的合法排列数是第 n 个卡特兰数。

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2. 出栈序列问题

假设一个栈初始为空，有 n 个元素依次入栈。

不同的出栈序列数量为第 n 个卡特兰数。

例如：当 n = 3 时，元素 1, 2, 3 入栈，可能的出栈序列有：

• 123

• 132

• 213

• 231

• 321

共 5 种，即 C₃ = 5。

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3. 二叉树形态问题（二叉搜索树同样适用）（对于二叉搜索树）：节点带有唯一编号（1~n）

由 n 个节点构成的不同形态的二叉树数量为第 n 个卡特兰数。

例如：当 n = 3 时，有 5 种不同形态的二叉树。

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4. 凸多边形的三角剖分问题

将一个凸 n+2 边形，用 n−1 条不相交对角线划分成 n 个三角形。

剖分方法数为第 n 个卡特兰数。

例如：当 n = 3（对应五边形），有 5 种三角剖分方法。

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5. 路径问题（Dyck Path）

在 n×n 方格上，从左下角走到右上角：

• 只能向右或向上走；

• 且不能穿过对角线。

满足条件的路径数量为第 n 个卡特兰数。

例如：当 n = 3 时，有 5 条合法路径。

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6. 矩阵乘法运算顺序问题

对 n 个矩阵 A₁A₂…An，根据结合律加括号，不改变顺序：

不同的乘法顺序数为第 n−1 个卡特兰数。

例如：A₁A₂A₃A₄ 的括号组合方式有：

• (A₁(A₂(A₃A₄)))

• (A₁((A₂A₃)A₄))

• ((A₁A₂)(A₃A₄))

• ((A₁(A₂A₃))A₄)

• (((A₁A₂)A₃)A₄)

共 5 种，即 C₃ = 5。

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7. 圆上点连线问题

在圆上选择 2n 个点，两两连线且不允许线段相交。

不同连线方式数量为第 n 个卡特兰数。

例如：n = 3（6 个点）时，有 5 种不相交连线方法。

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8. 投票顺序问题

有 2n 个人投票，其中 n 票赞成、n 票反对。

要求：投票过程中任意时刻赞成票不少于反对票。

满足条件的投票顺序数为第 n 个卡特兰数。

例如：n = 3 时，合法顺序包括：

• 赞成赞成赞成反对反对反对

• 赞成赞成反对赞成反对反对

• 等等，共 5 种。

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9. 正则表达式的合法匹配树结构

将正则表达式转换为语法树时，不同的合法匹配结构数量为第 n 个卡特兰数。
例如：对于带有 |（或）、*（重复）、括号等结构的正则，其合法解析方式的总数可用卡特兰数计数。

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10. AVL 树构建数量（高度平衡二叉树）

给定 n 个节点，构建满足 AVL 高度平衡条件的二叉树的方案数，在某些简化条件下也呈现卡特兰数的增长趋势。
虽然不是完全等价，但当我们限制树高度差时，其子问题的递推方式与卡特兰数类似。

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11. 全括号表达式（完全二叉运算树）

对于形如 a * b * c * d 的操作数序列，在不改变操作数顺序的前提下，通过加括号来确定乘法顺序的方式有 n-1 个卡特兰数种。

例如，对于 a * b * c * d：

• ((a * (b * (c * d))))

• (a * ((b * c) * d))

• ((a * b) * (c * d))

• (((a * b) * c) * d)

• ((a * (b * c)) * d)

共 5 种，即 C₃ = 5。

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12. 单调栈中构造不下降子序列的方式

在使用栈构造特定不下降子序列（如栈排序问题）时，某些构造路径数也可以转化为卡特兰数的问题。
这类问题通常是判断合法出栈序列、不交叉子序列或序列递归划分，其本质与卡特兰数的组合结构密切相关。