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用二进制魔法解锁复杂问题：状态压缩动态规划实战揭秘

news 来源：原创 2025/5/6 14:27:21

在 C++ 算法的奇妙世界里，状态压缩动态规划就像一位神秘的魔法师，它挥舞着二进制的魔杖，将复杂的状态信息压缩成简洁的数字，让看似棘手的问题迎刃而解。今天，就让我们一起走进这位魔法师的世界，学习如何用状态压缩动态规划攻克难题！

什么是状态压缩动态规划？

想象你要规划一场盛大的派对，邀请了很多朋友，但朋友们之间有的互相认识，有的互不相识。为了让派对氛围更好，你希望邀请的朋友尽可能多，同时保证任意两个被邀请的朋友都互相认识。这个问题中，每个朋友是否被邀请就是一个状态，而所有朋友的邀请状态组合起来就是一个复杂的整体状态。状态压缩动态规划就是把这样复杂的状态，通过二进制等方式压缩成一个数，从而简化问题的求解过程。

它的核心在于将离散的、多维的状态用一个整数表示，利用位运算高效地处理状态之间的转移，在解决涉及集合、子集等问题时，有着独特的优势。

状态压缩动态规划的关键要素

状态定义：把问题中的各种状态用一个整数表示，例如用二进制位表示某个元素是否被选取、某个条件是否满足等。

状态转移方程：根据问题的逻辑，确定如何从一个压缩后的状态转移到另一个状态，通常会借助位运算实现。

边界条件：设定初始状态，为后续的状态转移提供起点。

代码实现与详细解释

我们以 “旅行商问题（TSP）” 的简化版本为例，来看看状态压缩动态规划的实际应用。

问题描述

假设有 n 个城市，城市之间有距离。一个旅行商需要从某个城市出发，经过每个城市恰好一次，最后回到出发城市，求最短的旅行距离。为了简化，我们假设这是一个无向完全图，即任意两个城市之间都有直接相连的路径。

代码示例

#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits>
using namespace std;// 计算旅行商问题的最短路径
int tsp(vector<vector<int>>& distance) {int n = distance.size();// dp[i][j]表示状态为i，当前位于城市j时的最短路径长度// i的二进制表示中，第k位为1表示城市k已经被访问过vector<vector<int>> dp(1 << n, vector<int>(n, numeric_limits<int>::max()));// 初始状态：从城市0出发，已经访问过城市0dp[1][0] = 0;for (int state = 1; state < (1 << n); ++state) {for (int j = 0; j < n; ++j) {if (dp[state][j] != numeric_limits<int>::max()) {for (int k = 0; k < n; ++k) {if (!(state & (1 << k))) {  // 城市k还未被访问int newState = state | (1 << k);  // 更新状态，标记城市k已访问dp[newState][k] = min(dp[newState][k], dp[state][j] + distance[j][k]);}}}}}// 回到起点0，找到最短路径int minDistance = numeric_limits<int>::max();for (int i = 0; i < n; ++i) {minDistance = min(minDistance, dp[(1 << n) - 1][i] + distance[i][0]);}return minDistance;
}

代码解释

首先定义了二维数组 dp ，dp[i][j] 表示状态为 i ，当前位于城市 j 时的最短路径长度。其中 i 是一个整数，它的二进制表示中，第 k 位为 1 表示城市 k 已经被访问过。例如，1 的二进制是 0001 ，表示只访问了城市 0 ；3 的二进制是 0011 ，表示访问了城市 0 和城市 1 。

初始化 dp[1][0] = 0 ，表示从城市 0 出发，且已经访问过城市 0 时，路径长度为 0 。

外层循环遍历所有可能的状态 state ，内层循环遍历当前状态下的所有城市 j 。当 dp[state][j] 不是无穷大时，说明存在从起始状态到当前状态且位于城市 j 的路径。

最内层循环遍历所有城市 k ，如果城市 k 还未被访问（通过位运算 !(state & (1 << k)) 判断），则更新状态 newState ，将城市 k 标记为已访问，并更新 dp[newState][k] 为更短的路径长度。

最后，遍历所有城市 i ，计算回到起点 0 的最短路径长度，返回结果。

进阶例题：方格取数问题

问题描述

在一个 n×n 的方格中，每个方格都有一个整数。现在需要从左上角走到右下角，每次只能向下或向右走，并且走过的方格中的数字会被取走（不能再取）。求能取到的数字和的最大值。同时，在取数过程中，有些方格是不能经过的。

代码示例

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;// 方格取数问题
int maxSum(vector<vector<int>>& grid) {int n = grid.size();// dp[i][j][state]表示走到(i, j)位置，状态为state时的最大数字和// state的二进制表示中，第k位为1表示(0, k)到(i, k)这一列已经被访问过vector<vector<vector<int>>> dp(n, vector<vector<int>>(n, vector<int>(1 << n, 0)));if (grid[0][0] == -1) return 0;  // 起点不能走dp[0][0][1] = grid[0][0];for (int i = 0; i < n; ++i) {for (int j = 0; j < n; ++j) {if (grid[i][j] != -1) {if (i > 0) {for (int state = 0; state < (1 << n); ++state) {dp[i][j][state | (1 << j)] = max(dp[i][j][state | (1 << j)], dp[i - 1][j][state] + grid[i][j]);}}if (j > 0) {for (int state = 0; state < (1 << n); ++state) {dp[i][j][state] = max(dp[i][j][state], dp[i][j - 1][state] + grid[i][j]);}}}}}return dp[n - 1][n - 1][(1 << n) - 1];
}

代码解释