java学习之数据结构：四、树
主要对各种树进行介绍
目录
1.二叉树
1.1满二叉树
1.2完全二叉树
1.3有序二叉树
1.4平衡二叉树
1）LL型
2）LR型
3）RR型
4）RL型
2.B树
2.1B树与平衡二叉树区别
2.2B树条件
2.3B树添加过程
3.红黑树
3.1定义
3.2性质
4.哈夫曼树
4.1一些定义
4.2构建过程
1.二叉树
定义：二叉树是一种非线性数据结构，代表“祖先”与“后代”之间的派生关系，体现了“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含值、左子节点引用和右子节点引用。每个节点都有两个引用（指针），分别指向左子节点和右子节点，该节点被称为这两个子节点的父节点。当给定一个二叉树节点时，将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的左子树。在二叉树中，除叶子节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树。
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
1.1满二叉树
定义：是一颗每层节点数都达到其最大值的二叉树。如果一棵 二叉树的层数为 K ，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树 。
1.2完全二叉树
定义：是由满二叉树引申过来的，对于深度为 K 的，有 n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K 的满二叉树中编号从 0 至 n-1 的结点一一对应时称之为完 全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
简单说，就是最底层节点尽量靠左填充。
1.3有序二叉树
定义：对于任意节点，其左子树中的所有节点的值都小于该节点的值，而右子树中的所有节点的值都大于该节点的值。
1.4平衡二叉树
定义：任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过1
操作：在插入节点时，为了保证是平衡二叉树，需要进行以下操作：
1）LL型
如下图所示，以不平衡节点为基础进行右旋。中间节点最后成为父节点
2）LR型
如下图所示，绿色节点为基础，先左旋再右旋。最后造成不平衡节点成为父节点
3）RR型
如图所示，类似LL，将红色节点右旋，最后中间节点作为父节点
4）RL型
如下图所示，将破坏节点作为旋转节点，先右旋再左旋。最后破坏节点为父节点。
2.B树
2.1B树与平衡二叉树区别
B 树就是平衡多路（即不止两个子树）查找树，它和平衡二叉树的不同有这么几点：
- 平衡二叉树节点最多有两个子树，而 B 树每个节点可以有多个子树，M 阶 B 树表示该树每个节点最多有 M 个子树
- 平衡二叉树每个节点只有一个数据和两个指向孩子的指针，而 B 树每个中间节点有 k-1 个关键字（可以理解为数据）和 k 个子树（ **k 介于阶数 M 和 M/2 之间，M/2 向上取整）
- B 树的所有叶子节点都在同一层，并且叶子节点只有关键字，指向孩子的指针为 null
和平衡二叉树相同的点在于：B 树的节点数据大小也是按照左小右大，子树与节点的大小比较决定了子树指针所处位置。
下图对比：
2.2B树条件
- 若根结点不是终端结点，则至少有2棵子树
- 除根节点以外的所有非叶结点至少有 M/2 棵子树，至多有 M 个子树（关键字数为子树减一）
- 所有的叶子结点都位于同一层
2.3B树添加过程
以下图为例，构建一颗s阶B树。值得注意的是，每次“挤上去”的节点不同，所以构建出来的B树也有所不同。
1）首先确定B树的阶数---3阶，即分支中最大节点数不能超过3
2）添加元素并排序，此时节点数超过三，则将40挤上去，如下图
3）继续构建，添加元素，再次出现4节点时挤上去：
4）继续上述操作
5）继续构建，构建完成
3.红黑树
3.1定义
红黑树是一种自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构。 红黑树是一种平衡二叉查找树的变体，它的左右子树高差有可能大于 1，所以红黑树不是严格意义上的平衡二叉树（AVL），但 对之进行平衡的代价较低， 其平均统计性能要强于 AVL 。
3.2性质
性质1. 结点是红色或黑色。
性质2. 根结点是黑色。
性质3. 所有叶子都是黑色。（叶子是NULL结点）
性质4. 每个红色结点的两个子结点都是黑色。（从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色结点）
性质5. 从任一节结点到每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色结点
所以可以推断出：从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长。
4.哈夫曼树
4.1一些定义
路径：在一棵树中，一个结点到另一个结点之间的通路，称为路径。
路径长度：在一条路径中，每经过一个结点，路径长度都要加 1 。
结点的权：给每一个结点赋予一个新的数值，被称为这个结点的权。
结点的带权路径长度：指的是从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度之和。通常记作 “WPL” 。
哈夫曼树：当用 n 个结点（都做叶子结点且都有各自的权值）构建一棵树时，如果构建的这棵树的带权路径长度最小，称这棵树为“最优二叉树”，有时也叫“赫夫曼树”或者“哈夫曼树”。
在构建哈弗曼树时，要使树的带权路径长度最小，需要遵循一个原则：权重越大的结点离树根越近。
4.2构建过程
- 在 n 个权值中选出两个最小的权值，对应的两个结点组成一个新的二叉树，且新二叉树的根结点的权值为左右孩子权值的和；
- 在原有的 n 个权值中删除那两个最小的权值，同时将新的权值加入到 n–2 个权值的行列中，以此类推；
- 重复 1 和 2 ，直到所以的结点构建成了一棵二叉树为止，这棵树就是哈夫曼树。
文章参考：https://www.cnblogs.com/1873cy/p/18392848
重温数据结构：理解 B 树、B+ 树特点及使用场景-腾讯云开发者社区-腾讯云