高等数学第三章---微分中值定理与导数的应用（3.3泰勒（Taylor）公式）

§3.3 泰勒(Taylor)公式

一、 Taylor多项式

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，微分学中有近似计算公式：
$$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\Delta x$$
利用这个近似计算公式可以计算 $x_0$ 附近的函数值，例如计算 $\sqrt{1.002}$。

若记 $x=x_0+\Delta x$，则 $\Delta x=x-x_0$，近似计算公式变为：
$$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$
我们换个角度来看这个近似公式：

• 左端是一个函数 $f(x)$，通常表示一条曲线。
• 右端是关于 $(x-x_0)$ 的一次多项式函数，表示一条直线。

这个近似关系即“用直线近似表示曲线”，我们常称之为“以直代曲”。在逼近论中，这被称为“一次密切”。显然，“一次密切”的逼近程度可能不够好。我们自然会想：能不能找到“二次密切”、“三次密切”，…，“$n$ 次密切”？并且，$n$ 越大，密切程度（逼近效果）应该越好。

下面我们就来考虑，对于一个给定的函数 $f(x)$，如何找到它的“$n$ 次密切”多项式。也就是说，已知函数 $f(x)$，如何找到一个形如 $a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n$ 的 $n$ 次多项式来近似它？

这个 $n$ 次多项式的形式是固定的，即包含从 $(x-x_0)$ 的 $0$ 次幂到 $n$ 次幂的所有项。关键在于确定系数 $a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n$。

我们先以一个 $n$ 次多项式函数 $P_n(x)$ 本身出发，看看如果将它表示成 $a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n$ 的形式，这些系数是如何确定的。然后，我们将这个思想推广到一般函数 $f(x)$。

确定多项式系数：

设 $P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n$。
（注：任何 $n$ 次多项式函数总可以表示成这种形式，例如 $x^2+1=2+2(x-1)+(x-1{)}^2$ 是在 $x_0=1$ 处的展开）。

下面我们通过 $P_n(x)$ 及其导数在 $x_0$ 点的值来确定系数 $a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n$。

1. 令 $x=x_0$，得：
   $P_n(x_0)=a_0+0+0+\cdots +0⟹\boxed{a_0=P_n(x_0)}$

2. 对 $P_n(x)$ 求一阶导数：
   $P_n^{\prime }(x)=a_1+2a_2(x-x_0)+3a_3(x-x_0{)}^2+\cdots +n{a}_n(x-x_0{)}^{n-1}$
   令 $x=x_0$，得：
   $P_n^{\prime }(x_0)=a_1+0+0+\cdots +0⟹\boxed{a_1=P_n^{\prime }(x_0)}$

3. 对 $P_n^{\prime }(x)$ 再求导（即求 $P_n(x)$ 的二阶导数）：
   $P_n^{\prime \prime }(x)=2a_2+3\times 2a_3(x-x_0)+\cdots +n(n-1)a_n(x-x_0{)}^{n-2}$
   令 $x=x_0$，得：
   $P_n^{\prime \prime }(x_0)=2a_2+0+\cdots +0⟹\boxed{a_2=\frac{P_n^{\prime \prime }(x_0)}{2!}}$

4. 继续求导，求 $P_n(x)$ 的三阶导数：
   $P_n^{\prime \prime \prime }(x)=3\times 2a_3+4\times 3\times 2a_4(x-x_0)+\cdots +n(n-1)(n-2)a_n(x-x_0{)}^{n-3}$
   令 $x=x_0$，得：
   $P_n^{\prime \prime \prime }(x_0)=3\times 2\times 1a_3+0+\cdots +0⟹\boxed{a_3=\frac{P_n^{\prime \prime \prime }(x_0)}{3!}}$

5. 依此类推，对 $P_n(x)$ 求 $k$ 阶导数 $P_n^{(k)}(x)$，会得到：
   $P_n^{(k)}(x)=k!a_k+(k+1)!a_{k+1}(x-x_0)+\cdots +\frac{n!}{(n-k)!}{a}_n(x-x_0{)}^{n-k}$
   令 $x=x_0$，得：
   $P_n^{(k)}(x_0)=k!a_k⟹\boxed{a_k=\frac{P_n^{(k)}(x_0)}{k!}}$ （$k=0,1,\dots ,n$）
   特别地，当 $k=n$ 时， $P_n^{(n)}(x)=n!a_n$，所以 $a_n=\frac{P_n^{(n)}(x_0)}{n!}$。

总结： 对于 $n$ 次多项式函数 $P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n$，其系数由 $P_n(x)$ 在 $x_0$ 点的各阶导数决定：
$$a_k=\frac{P_n^{(k)}(x_0)}{k!},k=0,1,2,\dots ,n$$
（其中 $P_n^{(0)}(x_0)=P_n(x_0)$ 且 $0!=1$）

推广到一般函数：

现在，我们希望用一个 $n$ 次多项式来近似一个更一般的函数 $f(x)$。一个自然的想法是，让这个多项式在 $x_0$ 点的函数值以及直到 $n$ 阶的导数值都与 $f(x)$ 在 $x_0$ 点的相应值相等。

若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处存在 $n$ 阶导数，我们定义一个 $n$ 次多项式，使其系数满足与上面多项式类似的关系：
$$a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!},k=0,1,2,\dots ,n$$
这个多项式就是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的“$n$ 次密切”多项式，称为 $n$ 次Taylor多项式，记作 $T_n(x)$：
$$\boxed{T_n(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n}$$
或者写成求和形式：
$$T_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k$$

注：

1. 根据构造， $f(x)$ 与 $T_n(x)$ 在 $x_0$ 处具有相同的函数值和直到 $n$ 阶的各阶导数值，即：
   $f(x_0)=T_n(x_0)$
   $f^{\prime }(x_0)=T_n^{\prime }(x_0)$
   $f^{\prime \prime }(x_0)=T_n^{\prime \prime }(x_0)$
   $\cdots$
   $f^{(n)}(x_0)=T_n^{(n)}(x_0)$
   （可以自行验证 $T_n(x)$ 的各阶导数在 $x_0$ 的值）。
2. $f(x)$ 与 $T_n(x)$ 的差称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 次Taylor余项，记作 $R_n(x)$：
   $$R_n(x)=f(x)-T_n(x)$$
   显然有：
   • $f(x)=T_n(x)+R_n(x)$
   • $R_n^{(k)}(x)=f^{(k)}(x)-T_n^{(k)}(x)$，并且 $R_n^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0)-T_n^{(k)}(x_0)=0$，对于 $k=0,1,2,\dots ,n$ 都成立。

二、 Taylor公式

Taylor公式给出了函数 $f(x)$ 与其Taylor多项式 $T_n(x)$ 之间的关系，即对余项 $R_n(x)$ 进行了描述。有两种常用的带有不同形式余项的Taylor公式。

(1) Taylor定理 (带Peano余项)

定理： 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处存在 $n$ 阶导数，则有：
$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$
其中，余项 $R_n(x)=o((x-x_0{)}^n)$ （当 $x\to x_0$ 时）。

也就是说：
$$\boxed{f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+o((x-x_0{)}^n)}$$

证明思路：
只需证明 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0{)}^n}=0$。
令 $Q(x)=(x-x_0{)}^n$。我们知道 $R_n(x_0)=R_n^{\prime }(x_0)=\cdots =R_n^{(n)}(x_0)=0$。
同时，$Q(x_0)=Q^{\prime }(x_0)=\cdots =Q^{(n-1)}(x_0)=0$，但 $Q^{(n)}(x)=n!$。

考虑极限 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{Q(x)}$，这是一个 $\frac{0}{0}$ 型极限。
反复应用洛必达法则 $n$ 次：
$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{R_n(x)}{Q(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{R_n^{\prime }(x)}{Q^{\prime }(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{R_n^{\prime \prime }(x)}{Q^{\prime \prime }(x)}=\cdots$$
$$\cdots =\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{R_n^{(n)}(x)}{Q^{(n)}(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{R_n^{(n)}(x)}{n!}$$
由于 $R_n^{(n)}(x)=f^{(n)}(x)-T_n^{(n)}(x)=f^{(n)}(x)-f^{(n)}(x_0)$，
且 $f(x)$ 在 $x_0$ 处存在 $n$ 阶导数，意味着 $f^{(n)}(x)$ 在 $x_0$ 处连续（如果 $n$ 阶导数存在于 $x_0$ 的邻域内）或者至少 $f^{(n-1)}(x)$ 在 $x_0$ 处可导。严格来说，仅 $n$ 阶导数在 $x_0$ 点存在即可保证 ${\lim }_{x\to x_0}{R}_n^{(n)}(x)=R_n^{(n)}(x_0)=0$。
（更严谨的证明需要利用导数定义或Peano形式的导数定义）。
注：原文的证明最后一步 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{R_n^{(n)}(x)}{n!}=0$ 需要 $R_n^{(n)}(x_0)=0$ 并且 $R_n^{(n)}(x)$ 在 $x\to x_0$ 时趋于 $0$。$R_n^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)-T_n^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)-f^{(n)}(x_0)=0$ 是成立的。利用 $f^{(n)}(x_0)$ 的定义可以更严格地完成最后一步。

所以， ${\lim }_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0{)}^n}=\frac{0}{n!}=0$，即 $R_n(x)=o((x-x_0{)}^n)$。证毕。

注：

1. 该定理说明 $f(x)$ 与它的“$n$ 次密切” $T_n(x)$ 相差一个比 $(x-x_0{)}^n$ 更高阶的无穷小量（当 $x\to x_0$ 时）。
2. 这个公式称为带有 Peano（佩亚诺）余项 的Taylor公式。Peano余项给出了误差的阶，但不给出具体的误差表达式。
3. 特别地，当 $x_0=0$ 时，公式变为：
   $$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$$
   这称为带有 Peano（佩亚诺）余项 的 Maclaurin（麦克劳林）公式。

(2) Taylor中值定理 (带Lagrange余项)

定理： 若 $f(x)$ 在包含 $x_0$ 的某个开区间 $(a,b)$ 内（即包含$x_0$ 的某个领域内）存在直到 $(n+1)$ 阶连续导数，则对该区间内任意一点 $x\ne x_0$，存在一点 $\xi$ 严格介于 $x$ 与 $x_0$ 之间，使得：
$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$
其中，余项 $R_n(x)$ 可以表示为：
$$\boxed{R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}}$$

证明思路：
只需证明 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$。
固定 $x$，令 $G(t)=R_n(t)=f(t)-T_n(t)$，其中 $T_n(t)={\sum }_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(t-x_0{)}^k$。
令 $Q(t)=(t-x_0{)}^{n+1}$。
我们知道 $G(x_0)=G^{\prime }(x_0)=\cdots =G^{(n)}(x_0)=0$。
同时 $Q(x_0)=Q^{\prime }(x_0)=\cdots =Q^{(n)}(x_0)=0$，且 $Q^{(n+1)}(t)=(n+1)!$。

考虑比值 $\frac{G(x)}{Q(x)}$。由于 $G(x_0)=0$ 和 $Q(x_0)=0$，根据（广义）柯西中值定理，存在 ${\xi }_1$ 介于 $x_0$ 和 $x$ 之间，使得：
$$\frac{G(x)}{Q(x)}=\frac{G(x)-G(x_0)}{Q(x)-Q(x_0)}=\frac{G^{\prime }({\xi }_1)}{Q^{\prime }({\xi }_1)}$$
由于 $G^{\prime }(x_0)=0$ 和 $Q^{\prime }(x_0)=0$，再对 $\frac{G^{\prime }({\xi }_1)}{Q^{\prime }({\xi }_1)}$ 应用柯西中值定理（以 ${\xi }_1$ 和 $x_0$ 为端点），存在 ${\xi }_2$ 介于 $x_0$ 和 ${\xi }_1$ 之间，使得：
$$\frac{G^{\prime }({\xi }_1)}{Q^{\prime }({\xi }_1)}=\frac{G^{\prime }({\xi }_1)-G^{\prime }(x_0)}{Q^{\prime }({\xi }_1)-Q^{\prime }(x_0)}=\frac{G^{\prime \prime }({\xi }_2)}{Q^{\prime \prime }({\xi }_2)}$$
重复这个过程 $n+1$ 次，最终得到存在一个 $\xi$ 介于 $x_0$ 和 $x$ 之间（实际上 $\xi$ 介于 $x_0$ 和 ${\xi }_n$ 之间，${\xi }_n$ 介于 $x_0$ 和 ${\xi }_{n-1}$ 之间… ${\xi }_1$ 介于 $x_0$ 和 $x$ 之间，因此 $\xi$ 也介于 $x_0$ 和 $x$ 之间），使得：
$$\frac{G(x)}{Q(x)}=\frac{G^{(n+1)}(\xi )}{Q^{(n+1)}(\xi )}$$
我们知道 $G^{(n+1)}(t)=f^{(n+1)}(t)-T_n^{(n+1)}(t)$。由于 $T_n(t)$ 是 $t$ 的 $n$ 次多项式，其 $(n+1)$ 阶导数为 $0$，即 $T_n^{(n+1)}(t)=0$。所以 $G^{(n+1)}(t)=f^{(n+1)}(t)$。
而 $Q^{(n+1)}(t)=(n+1)!$。
代入上式：
$$\frac{R_n(x)}{(x-x_0{)}^{n+1}}=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}$$
因此，$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$。证毕。

注：

1. 这个包含具体余项表达式的公式称为带有 Lagrange（拉格朗日）余项 的Taylor公式。Lagrange余项给出了误差的一个具体（虽然包含未知点 $\xi$）的表达式，常用于估计误差。
   $$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1},\xi \text{ 介于 }{x}_0\text{ 和 }x\text{ 之间}$$
2. 当 $n=0$ 时，公式变为 $f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(1)}(\xi )}{1!}(x-x_0{)}^1$，即：
   $$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(\xi )(x-x_0)$$
   这正是 Lagrange中值定理。所以Taylor中值定理是Lagrange中值定理的推广。
3. 当 $x_0=0$ 时，公式变为：
   $$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1}$$
   其中 $\xi$ 介于 $0$ 和 $x$ 之间。这称为带有 Lagrange余项 的 Maclaurin公式。

三、 Taylor公式展开

在实际应用中，我们经常需要将函数展开成Taylor公式（特别是Maclaurin公式）。主要有两种方法：直接法和间接法。这里我们主要关注带Peano余项的Maclaurin公式展开。

1. 直接法展开

直接法就是根据Maclaurin公式的定义，计算函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的各阶导数 $f^{(k)}(0)$，然后代入公式：
$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$$

例 1 将 $f(x)=e^x$ 展成Maclaurin公式。

解：
计算各阶导数：$f(x)=e^x$, $f^{\prime }(x)=e^x$, $f^{\prime \prime }(x)=e^x$, …, $f^{(n)}(x)=e^x$。
在 $x=0$ 处的值：$f(0)=e^0=1$, $f^{\prime }(0)=1$, $f^{\prime \prime }(0)=1$, …, $f^{(n)}(0)=1$。
代入Maclaurin公式：
$$\boxed{e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)}$$

例 2 将 $f(x)=\sin x$ 展成Maclaurin公式。

解：
计算各阶导数在 $x=0$ 处的值：
$f(x)=\sin x⟹f(0)=0$
$f^{\prime }(x)=\cos x⟹f^{\prime }(0)=1$
$f^{\prime \prime }(x)=-\sin x⟹f^{\prime \prime }(0)=0$
$f^{\prime \prime \prime }(x)=-\cos x⟹f^{\prime \prime \prime }(0)=-1$
$f^{(4)}(x)=\sin x⟹f^{(4)}(0)=0$
…
导数值以周期 $0,1,0,-1$ 循环。
或者用 $f^{(n)}(x)=\sin (x+\frac{n\pi }{2})$，得 $f^{(n)}(0)=\sin (\frac{n\pi }{2})$。
非零项出现在 $k=1,3,5,\dots$。令 $n=2m+1$，则 $f^{(2m+1)}(0)=(-1{)}^m$。
代入Maclaurin公式（展开到 $x^{2n+1}$ 阶，余项为 $o(x^{2n+2})$ 或 $o(x^{2n+1})$ 都可以，这里按原文写）：
$$\boxed{\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})}$$
注意：这里的 $n$ 与公式中的 $n$ 不是同一个。更清晰的写法是展开到某个特定阶数，或者写成求和。例如，展开到 $x^{2N+1}$ 项：
$$\sin x=\sum _{k=0}^N(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2N+2})$$

例 3 将 $f(x)=(1+x{)}^a$ 展成Maclaurin公式（其中 $a$ 是实数）。

解：
计算各阶导数：
$f(x)=(1+x{)}^a$
$f^{\prime }(x)=a(1+x{)}^{a-1}$
$f^{\prime \prime }(x)=a(a-1)(1+x{)}^{a-2}$
$f^{\prime \prime \prime }(x)=a(a-1)(a-2)(1+x{)}^{a-3}$
…
$f^{(n)}(x)=a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)(1+x{)}^{a-n}$
在 $x=0$ 处的值：
$f(0)=1$
$f^{\prime }(0)=a$
$f^{\prime \prime }(0)=a(a-1)$
$f^{\prime \prime \prime }(0)=a(a-1)(a-2)$
…
$f^{(n)}(0)=a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)$
代入Maclaurin公式：
$$\boxed{(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)}$$
这个公式称为 二项式展开式。

注： 当 $a=-1$ 时，$f(x)=(1+x{)}^{-1}=\frac{1}{1+x}$。
$f^{(n)}(0)=(-1)(-1-1)\cdots (-1-n+1)=(-1)(-2)\cdots (-n)=(-1{)}^{n}n!$。
所以，
$$\frac{1}{1+x}=1+\frac{(-1)}{1!}x+\frac{(-1)(-2)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{(-1{)}^{n}n!}{n!}{x}^n+o(x^n)$$
$$\boxed{\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots +(-1{)}^n{x}^n+o(x^n)}$$
这与等比数列求和公式一致。

2. 间接法展开

间接法是指利用已知的基本函数的Maclaurin展开式，通过代换、四则运算、求导、积分等方法得到新函数的展开式。这种方法通常比直接求导更简便。

例 4 将 $f(x)=\cos x$ 展成Maclaurin公式。

解：
我们已知 $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})$。
由于 $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$，我们可以对 $\sin x$ 的展开式逐项求导（在收敛域内可以这样做，对于带Peano余项的公式，求导后余项的阶数需要调整）：
对 $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^N\frac{x^{2N+1}}{(2N+1)!}+o(x^{2N+2})$ 求导，
得到：
$$\cos x=1-\frac{3x^2}{3!}+\frac{5x^4}{5!}-\cdots +(-1{)}^N\frac{(2N+1)x^{2N}}{(2N+1)!}+o(x^{2N+1})$$
$$\boxed{\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})}$$
注：求导后， $o(x^{2N+2})$ 变为 $o(x^{2N+1})$。最终的 $o(x^{2n})$ 是对应展开到 $x^{2n}$ 项的余项。

例 5 将 $f(x)=e^{\frac{x^2}{2}}$ 展成Maclaurin公式。

解：
已知 $e^u=1+u+\frac{u^2}{2!}+\frac{u^3}{3!}+\cdots +\frac{u^n}{n!}+o(u^n)$。
令 $u=\frac{x^2}{2}$。当 $x\to 0$ 时，$u\to 0$。代入上式：
$$e^{\frac{x^2}{2}}=1+\left(\frac{x^2}{2}\right)+\frac{(\frac{x^2}{2}{)}^2}{2!}+\frac{(\frac{x^2}{2}{)}^3}{3!}+\cdots +\frac{(\frac{x^2}{2}{)}^n}{n!}+o\left({\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n\right)$$
$$\boxed{e^{\frac{x^2}{2}}=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{2^2\cdot 2!}+\frac{x^6}{2^3\cdot 3!}+\cdots +\frac{x^{2n}}{2^n\cdot n!}+o(x^{2n})}$$
注： $o((\frac{x^2}{2}{)}^n)=o(x^{2n})$。

例 6 将 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ 展成Maclaurin公式。

解：
已知 $\frac{1}{1+u}=1-u+u^2-u^3+\cdots +(-1{)}^n{u}^n+o(u^n)$。
令 $u=x^2$。当 $x\to 0$ 时，$u\to 0$。代入上式：
$$\frac{1}{1+x^2}=1-(x^2)+(x^2{)}^2-(x^2{)}^3+\cdots +(-1{)}^n(x^2{)}^n+o((x^2{)}^n)$$
$$\boxed{\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots +(-1{)}^n{x}^{2n}+o(x^{2n})}$$

例 7 将 $f(x)=\ln (1+x)$ 展成Maclaurin公式。

解：
我们知道 $(\ln (1+x){)}^{\prime }=\frac{1}{1+x}$。
已知 $\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+\cdots +(-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}+o(t^{n-1})$。（展开到 $n-1$ 阶）
由于 $\ln (1+x)={\int }_0^x\frac{1}{1+t}dt$，我们可以对 $\frac{1}{1+t}$ 的展开式逐项积分：
$$\ln (1+x)={\int }_0^x(1-t+t^2-t^3+\cdots +(-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}+o(t^{n-1}))dt$$
$$\ln (1+x)={\left[t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4}+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{t^n}{n}\right]}_0^x+{\int }_0^{x}o(t^{n-1})dt$$
$$\boxed{\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)}$$
注：${\int }_0^{x}o(t^{n-1})dt=o(x^n)$。

四、 应用

Taylor公式（特别是带Peano余项的Maclaurin公式）的一个重要应用是计算未定式极限，尤其是在使用洛必达法则求导比较复杂或繁琐时。

1. 计算极限

基本思想：将极限表达式中的函数用它们的Maclaurin展开式替换，通常展开到足以确定极限值的最低非零项即可。

例 8 计算 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}$

解：
这是 $\frac{0}{0}$ 型极限。直接使用洛必达法则需要求四次导数，比较麻烦。
考虑使用Maclaurin展开。由于分母是 $x^4$，我们需要将分子中的函数展开到包含 $x^4$ 的项。

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)$

$e^u=1+u+\frac{u^2}{2!}+o(u^2)$。令 $u=-\frac{x^2}{2}$，
$e^{-\frac{x^2}{2}}=1+(-\frac{x^2}{2})+\frac{(-\frac{x^2}{2}{)}^2}{2!}+o((-\frac{x^2}{2}{)}^2)$
$e^{-\frac{x^2}{2}}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+o(x^4)$

代入极限表达式：
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\right)-\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+o(x^4)\right)}{x^4}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\frac{1}{24}-\frac{1}{8})x^4+o(x^4)}{x^4}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\frac{1-3}{24})x^4+o(x^4)}{x^4}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{2}{24}{x}^4+o(x^4)}{x^4}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\left(-\frac{1}{12}+\frac{o(x^4)}{x^4}\right)\\ & =-\frac{1}{12}\end{array}$$

注：

1. $o(x^n)\pm o(x^n)=o(x^n)$。 $o(x^n)$ 表示一类比 $x^n$ 更高阶的无穷小函数，而不是一个函数。
2. ${\lim }_{x\to 0}\frac{o(x^n)}{x^n}=0$。