Codeforces Round 1022 (Div. 2) D. Needle in a Numstack（二分）

每周至少五篇博客：（2/5）

https://codeforces.com/contest/2108/problem/D

题意

这是一个互动问题。

您在阁楼中找到了数字 $k$ 和 $n$ ，但丢失了两个数组 $A$ 和 $B$ 。

你记得那个：

• $|A|+|B|=n$ ，数组的总长度为 $n$ 。
• $|A|\ge k$ 和 $|B|\ge k$ ，每个数组的长度至少为 $k$ 。
• 数组仅由 $1$ 到 $k$ 的数字组成。
• 如果您从数组 $A$ 中获取任何 $k$ 连续元素，它们都会有所不同。另外，如果您从数组 $B$ 中获取任何 $k$ 连续元素，它们都会有所不同。

幸运的是，定居在阁楼中的一种善良的精神发现了这些阵列，并将它们串成一个长度 $C$ 的阵列 $n$ 。也就是说，数组 $A$ 的元素首先写入数组 $C$ ，然后是数组 $B$ 的元素。

您可以向 $250$ 问题提出善良的精神。每个问题都包含一个索引 $i$ （ $1\le i\le n$ ）。作为响应，您将收到串联阵列 $C$ 的 $i$ \ - 的 $i$ \ - 。

您需要找到数组的长度 $A$ 和 $B$ ，或报告不可能唯一确定它们。

思路

看的哥哥的代码补的

因为保证 $A,B$ 两个数组任意连续长度为 $k$ 的连续子数组都不包含重复元素，所以 $A,B$ 两个数组是分别由不同的一段长度 $k$ 的排列循环构成的数组，那么我们分别在 $[1,k]$ 与 $[n-k+1,n]$ 两个区间用 $k+k$ 次询问就可以得知构成 $A,B$ 两个数组的排列，并且把通过询问得到的排列分别定义为 $a,b$ 数组

接下来二分分界线，每次查询一个长度为 $k$ 的区间，判断这个区间是 $a$ 的循环排列还是 $b$ 的循环排列，如果查询到的不是一个排列那么分界线肯定在这个区间中。不过因为只能查询 $250$ 次，所以哪怕是二分其实也是不够用的

实际上我们只需要关注 $a,b$ 不同的位置即可，只需要查询一个位置，这个位置通过计算可以判断是否属于 $a$ 对应的位置来进行二分

定义 $diff$ 数组为 $a,b$ 中不同元素的位置的下标集合，定义 $tot$ 为 $[k+1,n-k]$ 区间总共会有多少个有可能是分界线的位置，因为对于一处 $a,b$ 不同元素的位置，在 $C$ 数组中同样每隔 $k$ 个位置就会重复一次排列，所以对于 $[1,k]$ 中，如果 $a_i\ne b_i$ 那么有 $tot\leftarrow tot+(n-2\times k)/k$ ，其中 $n-2\times k$ 是因为去掉两段已经得知的 $a,b$ ，此外因为 $n$ 不一定是 $k$ 的整数倍，所以如果 $i\le (n-2\times k)\mathrm{mod}k$ 并且也有 $a_i\ne b_i$ ，那么 $tot\leftarrow tot+1$

此时我们二分的是第 $x$ 个有可能作为分界线的地方，所以我们还需要一个映射函数，用于映射出第 $x$ 个有可能作为分界线的地方在 $C$ 数组中的下标。如果查询到的值可以对应 $a$ 中对应的位置的元素，说明分界线不会在当前二分的地方的左侧，否则不会在右侧

如果无法准确查找到分界线的话就输出 $-1$ ，否则可以找到 $A,B$ 的长度

总询问次数不会超过 $200$ 次

代码

void solve() {int n, k;std::cin >> n >> k;std::vector<int> a(k), b(k);auto get = [&](int i) {std::cout << "? " << i + 1 << std::endl;int x;std::cin >> x;return x;};for (int i = 0; i < k; i ++) a[i] = get(i);for (int i = n - k; i < n; i ++) b[i % k] = get(i);std::vector<int> diff;int tot = 0;for (int i = 0; i < k; i ++) if (a[i] != b[i]) {diff.emplace_back(i);tot += (n - 2 * k) / k;if (i < n % k) tot ++;}auto get2 = [&](int i) ->int {if (i == -1) return k - 1;if (i == tot) return n - k;return i / diff.size() * k + diff[i % diff.size()] + k;};int l = -1, r = tot;while (l + 1 < r) {int mid = (l + r) >> 1;int i = get2(mid);if (get(i) == a[i % k]) l = mid;else r = mid;}l = get2(l), r = get2(r);if (l + 1 == r) std::cout << "! " << r << " " << n - r << std::endl;else std::cout << "! -1" << std::endl;
}